フェルマーの小定理

2017年3月13日

フェルマーの小定理の問題です。2項定理のちょうどよい応用問題になっており、大学入試にもよく出題されます。

1.(東北学院大)
pを素数とするとき,次のことを証明せよ.
(1) 1 \leqq k \leqq pを満たす自然数kについて,等式p \cdot _{p-1}C_{k-1}=k \cdot _pC_kが成り立つ.
(2) 1 \leqq k \leqq p-1を満たす自然数kについて,_pC_kpの倍数である.
(3) 2^p-2pの倍数である.

2.(早稲田大)
次の各問いに答えよ.ただし,正の整数nと整数k~(0 \leqq k \leqq n)に対して,_nC_kは正の整数である事実を使ってよい.
(1) mが2以上の整数のとき,_mC_2mで割り切れるための必要十分条件を求めよ.
(2) pを2以上の素数とし,kpより小さい正の整数とする.このとき,_pC_kpで割り切れることを示せ.
(3) pを2以上の素数とする.このとき,任意の正の整数nに対し,(n+1)^p-n^p-1pで割り切れることを示せ.

3.(京都大)
pを素数とするとき,すべての自然数nに対して,n^p-npで割り切れることを証明せよ.

解答

4.(東京大)
自然数m \geqq 2に対し,m-1個の二項係数_mC_1,~_mC_2,~\cdots,~_mC_{m-1}を考え,これらすべての最大公約数をd_mとする.すなわちd_mはこれらすべてを割り切る最大の自然数である.
(1) mが素数ならば,d_m=mであることを示せ.
(2) すべての自然数kに対し,k^m-kd_mで割り切れることを,kに関する数学的帰納法によって示せ.
(3) mが偶数のときd_mは1または2であることを示せ.

5.(大阪大)
pは素数,rは正の整数とする.
(1) x_1,~x_2,~\cdots,~x_rについての式(x_1+x_2+\cdots+x_r)^pを展開したときの単項式x_1^{p_1}x_2^{p_2} \cdots x_r^{p_r}の係数を求めよ.ここで,p_1,~p_2,~\cdots,~p_rは0または正の整数でp_1+p_2+\cdots+p_r=pを満たすとする.
(2) x_1,~x_2,~\cdots,~x_rが正の整数のとき,
(x_1+x_2+\cdots+x_r)^p-(x_1^p+x_2^p+\cdots+x_r^p)
pで割り切れることを示せ.
(3) rpで割り切れないとする.このとき,r^{p-1}-1pで割り切れることを示せ.

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