積分の基本1

2017年3月31日

まずは積分の基本公式を覚えましょう。

1.
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}x^4 dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{1}{x^2} dx
(3) {\displaystyle\int_{1}^{e}}\dfrac{dx}{x}
(4) {\displaystyle\int_{1}^{2}}\sqrt{x} dx
(5) {\displaystyle\int_{1}^{8}}\sqrt[3]{x} dx
(6) {\displaystyle\int_{1}^{4}}\dfrac{dt}{\sqrt{t}}

解答

2.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{2x+1}{x^2} dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{x} dx

解答

3.
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\sin x dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}(\sin x+2\cos x) dx
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{\sin^2 x}{1+\cos x} dx
(4) {\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}}\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}
(5) {\displaystyle\int_{}^{}}\tan^2 x dx
(6) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{\sin^3 x-1}{\sin^2 x} dx

解答

4.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}(3e^x-x^3) dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}(3^x+5^x) dx

解答

次に{\displaystyle\int_{}^{}}f(ax+b) dxの積分です。

5.
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}(2x-5)^3 dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{(1-x)^2}
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{2}{2x+1} dx
(4) {\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}}\sqrt{1-2x} dx
(5) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\sin 3x dx
(6) {\displaystyle\int_{0}^{1}}e^{2x} dx

解答

次は{\displaystyle\int_{}^{}}f(g(x))g'(x) dxの積分です。

6.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}2x\sqrt{x^2+1} dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\cos^2x\sin x dx
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{\cos x}{\sin^2 x} dx
(4) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{1-\sin x}
(5) {\displaystyle\int_{}^{}}xe^{x^2} dx
(6) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{\log x}{x} dx

解答

次は三角関数の奇数乗の積分です。

7.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\sin^3 x dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\sin^3 x\cos^2 x dx

解答

次に{\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{f'(x)}{f(x)} dxの積分です。

8.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{2x}{x^2+4} dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{e^x}{e^x+1} dx
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}\tan x dx

解答

最後に6,7の発展問題です。

9.(関西大)
自然数nについて数列\{a_n\}
a_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}(\sin 2x-2\sin x)\left({\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\cos^{k-1}x\right)dx
と定めるとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

解答

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