積分の基本２

2017年3月5日2017年3月31日

まずは分数関数の積分から。分数関数では分子の次数<分母の次数の形に直すのが基本です。

１．
次の不定積分を求めよ．
(1) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{2x^2-1}{x+1} dx$
(2) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1} dx$

→解答

積分は部分積分というものもありますが、基本的には積の形に弱いので和の形に直します。

２．
次の不定積分を求めよ．
(1) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)} dx$
(2) ${\displaystyle\int_{2}^{3}} \dfrac{dx}{x^2-1}$
(3) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)} dx$
(4) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{x^3}{x^2+x-2} dx$

→解答

３．
次の積分を計算せよ．
(1) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{x(x^2+1)}$
(2) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{4x^2+x+1}{x^3-1} dx$
(3) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{2x+1}{(x+1)^2 (x-2)} dx$

→解答

４．(神戸大)
関数 $f(x)=\dfrac{1}{x^3(1-x)}$ について，
(1) $f(x)=\dfrac{a_1}{x}+\dfrac{a_2}{x^2}+\dfrac{a_3}{x^3}+\dfrac{b}{1-x}$ とおいて，定数 $a_1,~a_2,~a_3,~b$ を求めよ．
(2) 不定積分 ${\displaystyle\int_{}^{}}f(x) dx$ を求めよ．
(3) 同様にして，不定積分 ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{x^p(1-x)}~(p=1,~2,~3,~\cdots)$ を求めよ．

→解答

次に三角関数を和の形に直します。半角の公式や積和公式を利用します。まずは三角関数の偶数乗の積分から。

５．
次の積分を計算せよ．
(1) ${\displaystyle\int_{}^{}}\sin^2 x dx$
(2) ${\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi}}\sin x\cos x dx$
(3) ${\displaystyle\int_{}^{}}(\sin x-\cos x)^2 dx$
(4) ${\displaystyle\int_{}^{}}\cos^4 x dx$

→解答

次に三角関数の積の積分です。

６．
次の不定積分を求めよ．
(1) ${\displaystyle\int_{}^{}}\sin 2x\cos 3x dx$
(2) ${\displaystyle\int_{}^{}}\cos x\cos 3x dx$

→解答

７．(東北学院大)
(1) ${\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\cos^2 x dx$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\cos mx \cos nx dx$ を求めよ．ただし， $m,~n$ は自然数とする．
(3) ${\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n}}\cos kx\right)^2 dx$ を求めよ．

→解答

８．(芝浦工業大)
定積分 $I={\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}}\dfrac{\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\dfrac{\theta}{2}}d\theta$ を次の順に求めよう．
(1) $2\left(\sin\dfrac{\theta}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos n\theta\right)$
$=\sin\dfrac{\theta}{2}+{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\{(~~~~~)-(~~~~~)\}$
$=(~~~~~)$
(2) ${\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}}\left(\dfrac{1}{2}+{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\cos k\theta\right)d\theta=(~~~~~)$
よって，(1)から $I=(~~~~~)$ である．