積分の基本2

2017年3月31日

まずは分数関数の積分から。分数関数では分子の次数<分母の次数の形に直すのが基本です。

1.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{2x^2-1}{x+1} dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1} dx

解答

積分は部分積分というものもありますが、基本的には積の形に弱いので和の形に直します。

2.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)} dx
(2) {\displaystyle\int_{2}^{3}} \dfrac{dx}{x^2-1}
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{1}{x(x+1)(x+2)} dx
(4) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{x^3}{x^2+x-2} dx

解答

3.
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{x(x^2+1)}
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{4x^2+x+1}{x^3-1} dx
(3) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{2x+1}{(x+1)^2 (x-2)} dx

解答

4.(神戸大)
関数f(x)=\dfrac{1}{x^3(1-x)}について,
(1) f(x)=\dfrac{a_1}{x}+\dfrac{a_2}{x^2}+\dfrac{a_3}{x^3}+\dfrac{b}{1-x}とおいて,定数a_1,~a_2,~a_3,~bを求めよ.
(2) 不定積分{\displaystyle\int_{}^{}}f(x) dxを求めよ.
(3) 同様にして,不定積分{\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{x^p(1-x)}~(p=1,~2,~3,~\cdots)を求めよ.

解答

次に三角関数を和の形に直します。半角の公式や積和公式を利用します。まずは三角関数の偶数乗の積分から。

5.
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\sin^2 x dx
(2) {\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi}}\sin x\cos x dx
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}(\sin x-\cos x)^2 dx
(4) {\displaystyle\int_{}^{}}\cos^4 x dx

解答

次に三角関数の積の積分です。

6.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\sin 2x\cos 3x dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\cos x\cos 3x dx

解答

7.(東北学院大)
(1) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\cos^2 x dxを求めよ.
(2) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\cos mx \cos nx dxを求めよ.ただし,m,~nは自然数とする.
(3) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n}}\cos kx\right)^2 dxを求めよ.

解答

8.(芝浦工業大)
定積分I={\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}}\dfrac{\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\dfrac{\theta}{2}}d\thetaを次の順に求めよう.
(1) 2\left(\sin\dfrac{\theta}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos n\theta\right)
=\sin\dfrac{\theta}{2}+{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\{(~~~~~)-(~~~~~)\}
=(~~~~~)
(2) {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}}\left(\dfrac{1}{2}+{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\cos k\theta\right)d\theta=(~~~~~)
よって,(1)からI=(~~~~~)である.

解答

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