置換積分法１

2017年3月5日2017年3月31日

置換積分法です。まずは基本的な問題から。

１．
次の定積分を求めよ．
(1) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}x(1-x)^3 dx$
(2) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{x-1}{(2-x)^2} dx$

２．((4) 小樽商科大)
次の積分を計算せよ．
(1) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}x\sqrt{1-x} dx$
(2) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{x}{\sqrt{3x-1}} dx$
(3) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(4) ${\displaystyle\int_{0}^{4}}\sqrt{2-\sqrt{x}} dx$

→解答

３．((2) 広島市立大　(3) 信州大)
次の積分を計算せよ．
(1) ${\displaystyle\int_{1}^{0}}\dfrac{x}{\sqrt{x}+2} dx$
(2) ${\displaystyle\int_{}^{}}e^{\sqrt{x}}dx$
(3) ${\displaystyle\int_{}^{}}x^3e^{x^2}dx$

→解答

４．((1) 関西大　(2) 東京理科大)
次の積分を計算せよ．
(1) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-x}} dx$
(2) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{1}{2+3e^x+e^{2x}} dx$
(3) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{\sin x\cos x}{1+\sin x} dx$
(4) ${\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{\cos x}{\sin x(\sin x+1)} dx$

→解答

次に $\sqrt{a^2-x^2}$ を含む積分です。

５．
次の定積分を求めよ．
(1) ${\displaystyle\int_{0}^{a}}\sqrt{a^2-x^2} dx~(a>0)$
(2) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}(1+x)\sqrt{1-x^2} dx$
(3) ${\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

→解答

最後に分母に $a^2+x^2$ を含む積分です。

６．((2) 弘前大　(3) 福島県立医大)
次の定積分を求めよ．
(1) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{dx}{1+x^2}$
(2) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{dx}{(3+x^2)^2}$
(3) ${\displaystyle\int_{0}^{1}}\log(1+x^2) dx$