置換積分法1

2017年3月31日

置換積分法です。まずは基本的な問題から。

1.
次の定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{0}^{1}}x(1-x)^3 dx
(2) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{x-1}{(2-x)^2} dx

解答

2.((4) 小樽商科大)
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{0}^{1}}x\sqrt{1-x} dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{x}{\sqrt{3x-1}} dx
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{x\sqrt{x+1}}
(4) {\displaystyle\int_{0}^{4}}\sqrt{2-\sqrt{x}} dx

解答

3.((2) 広島市立大 (3) 信州大)
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{1}^{0}}\dfrac{x}{\sqrt{x}+2} dx
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}e^{\sqrt{x}}dx
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}x^3e^{x^2}dx

解答

4.((1) 関西大 (2) 東京理科大)
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-x}} dx
(2) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{1}{2+3e^x+e^{2x}} dx
(3) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{\sin x\cos x}{1+\sin x} dx
(4) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{\cos x}{\sin x(\sin x+1)} dx

解答

次に\sqrt{a^2-x^2}を含む積分です。

5.
次の定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{0}^{a}}\sqrt{a^2-x^2} dx~(a>0)
(2) {\displaystyle\int_{0}^{1}}(1+x)\sqrt{1-x^2} dx
(3) {\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

解答

最後に分母にa^2+x^2を含む積分です。

6.((2) 弘前大 (3) 福島県立医大)
次の定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{dx}{1+x^2}
(2) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{dx}{(3+x^2)^2}
(3) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\log(1+x^2) dx

解答

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