置換積分法2

2017年6月14日

置換積分法の続きです。

1.
次の定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{0}^{3}}\sqrt{6x-x^2} dx
(2) {\displaystyle\int_{1}^{3}}\dfrac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}

解答

2.
次の定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{-1}^{0}}\dfrac{1}{x^2+2x+2} dx
(2) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{1}{x^3+1}dx

解答

3.(信州大)
(1) 次の式が成り立つように,定数A,~B,~C,~Dを定めよ.
\dfrac{8}{x^4+4}=\dfrac{Ax+B}{x^2+2x+2}+\dfrac{Cx+D}{x^2-2x+2}
(2) \tan\dfrac{\pi}{8},~\tan\dfrac{3}{8}\piの値を求めよ.
(3) 次の定積分を求めよ.
{\displaystyle\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}\dfrac{8}{x^2+4}dx

解答

次は双曲線の積分です。様々な方法がありますが、誘導なしで出題されることは0ではありませんがほとんどありません。

4.(Ⅰ 慶応大 Ⅱ 東京理科大)
Ⅰ.不定積分I={\displaystyle\int_{}^{}}\sqrt{1+x^2}dxを,\sqrt{1+x^2}+x=tとおいて求めると,I=(~~~~~)である.
Ⅱ.x=\dfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})とする.
(1) \dfrac{dx}{dt}tで表せ.
(2) txで表せ.
(3) 不定積分{\displaystyle\int_{}^{}}e^tdxをまずtで表し,次いでxで表せ.
(4) 上記を利用して,不定積分{\displaystyle\int_{}^{}}\sqrt{1+x^2}dxxで表せ.

解答

5.(横浜市立大)
(1) 関数\log(x+\sqrt{x^2+1})を微分せよ.
(2) 定積分{\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}}}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}dxの値を求めよ.

解答

次に三角関数(円)の媒介変数表示を利用した積分です。

6.(芝浦工業大)
\tan\dfrac{\theta}{2}=xとおいて,{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\dfrac{d\theta}{1+\sin\theta+\cos\theta}を求めよ.

解答

7.
次の不定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{\sin x}
(2) {\displaystyle\int_{}^{}}\dfrac{dx}{\cos x}

解答

最後に\sin,~\cosの奇数乗(負の奇数乗も含む)の積分はそれぞれ相方である\cos,~\sintとおいて置換して求める方法もあります.\sin^3 x,~\cos^3 xの不定積分や7の問題もこの方法で試しにやってみて下さい.

8.(東京理科大)
\dfrac{1}{(1-t^2)^2}を部分分数に分解すると
\dfrac{1}{(1-t^2)^2}=\dfrac{(~~~~~)}{(1-t)^2}+\dfrac{(~~~~~)}{1-t}+\dfrac{(~~~~~)}{(1+t)^2}+\dfrac{(~~~~~)}{1+t}となる.
また,積分{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}}\dfrac{dx}{\cos^3 x}の値は(  )である.

解答

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