いろいろな積分

2017年3月31日

まずは偶関数、奇関数の積分です。

1.
次の定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{-3}^{3}}(x^3+x^2+x+1) dx
(2) {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}}(2\sin t+3\cos t)^2 dt
(3) {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}}x^2\sin 2x dx

解答

次に特殊な置換積分をいくつか。

2.((1) 山梨大 (2) 信州大)
(1) x=\pi-tとおくことにより,定積分{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\dfrac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dxの値を求めよ.
(2) f(x)0 \leqq x \leqq 1で連続な関数であるとき
{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}xf(\sin x) dx=\dfrac{\pi}{2}{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}f(\sin x) dx
が成立することを示し,これを用いて定積分{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\dfrac{x\sin x}{3+\sin^2 x} dxを求めよ.

解答

3.(名古屋大)
(1) 連続関数f(x)が,すべての実数xについてf(\pi-x)=f(x)を満たすとき,{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)f(x) dx=0が成り立つことを証明せよ.
(2) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}}\dfrac{x\sin^3 x}{4-\cos^2 x} dxを求めよ.

解答

4.(大阪市立大)
I={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\left(\dfrac{x\sin x}{1+\cos x}+\dfrac{x\cos x}{1+\sin x}\right)dxとおく.
(1) 等式I=\dfrac{\pi}{4}{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\left(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\right)dxを示せ.
(2) Iの値を求めよ.

解答

5.(福島大)
(1) 関数f(x)は常にf(x)=f(-x)を満たす.このとき,
{\displaystyle\int_{-a}^{a}}\dfrac{f(x)}{1+e^{-x}} dx={\displaystyle\int_{0}^{a}}f(x) dxとなることを示せ.
(2) {\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}\dfrac{x\sin x}{1+e^{-x}} dxを計算せよ.

解答

6.
I_1={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x} dx,~I_2={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x} dxとおく.
(1) I_1+I_2を求めよ.
(2) I_1=I_2が成り立つことを示し,その値を求めよ.

解答

最後に階差を作り消去するタイプの積分です。

7.(芝浦工業大)
I_n={\displaystyle\int_{0}^{1}}\dfrac{x^n}{1+x}dx~(n=0,~1,~2,~\cdots)とおく.
I_n+I_{n+1}nの式で表すと(  )である.{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=a_nI_0+b_nI_nとおくと,a_n=(~~~~~),~b_n=(~~~~~)である.

解答

8.(東京工業大)
nを自然数とする.{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\dfrac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx=\dfrac{\pi}{2}を示せ.

解答

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