サイコロ2

2017年3月31日

サイコロの応用問題をいくつか。

1.(茨城大)
さいころを4回投げる.出た目の数を順にa,~b,~c,~dとするとき,
(1) a^2を4で割ると,余りは0か1であることを示せ.
(2) a^2+b^2+c^2+d^2が4の倍数となる確率を求めよ.
(3) 積abcdが4の倍数となる確率を求めよ.

解答

2.(関西大)
大小2つのサイコロを投げる.大きいサイコロの目をA,小さいサイコロの目をBとする.このとき,2次方程式x^2-Ax+B=0 \cdots①について
(1) ①がx=1を解としてもつ確率を求めよ.
(2) ①がx=2を解としてもつ確率を求めよ.
(3) ①が2つの異なる実数の解をもつ確率を求めよ.
(4) ①が2つの異なる整数の解をもつ確率を求めよ.
(5) ①が実数の解をもたない確率を求めよ.

解答

3.(九州大)
さいころを3回続けて投げて出た目を順にa,~b,~cとする.これらのa,~b,~cに対して2次方程式
(*)ax^2+bx+c=0
を考える.ただし,さいころはどの目も同様に確からしく出るものとする.
(1) 2次方程式(*)が異なる2つの実数の解をもつとき,積acのとり得る値を求め,積acの各値ごとに可能なacの組(a,c)がそれぞれ何通りあるかを求めよ.
(2) 2次方程式(*)が異なる2つの有理数の解をもつ確率を求めよ.ただし,一般に自然数nが自然数の2乗でなければ\sqrt{n}は無理数であることを用いてよい.

解答

4.(滋賀医科大)
1から6までの目をもつ立方体のサイコロを3回投げる.そして,1, 2, 3回目に出た目をそれぞれa,~b,~cとする.
(1) a,~b,~cを3辺の長さとする正三角形が作れる確率を求めよ.
(2) a,~b,~cを3辺の長さとする二等辺三角形が作れる確率を求めよ.
(3) a,~b,~cを3辺の長さとする三角形が作れる確率を求めよ.

解答

5.(東北大)
さいころを3回振って出た目の数をそれぞれ順にa,~b,~cとする.
(1) a,~b,~cがある直角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ.
(2) a,~b,~cがある鈍角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ.

解答

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