組合せと確率3

2017年11月30日

次に正多角形と確率の問題です。

1.(明治大)
正十二角形の頂点から相異なる3点を無作為に選び,その3点を頂点とする三角形Sを考える.Sが次のような形になる確率を求めよ.
(1) 正三角形
(2) 直角三角形
(3) 二等辺三角形

解答

2.(首都大)
点Oを中心とする半径1の円に内接している正六角形ABCDEFがある.A, B, C, D, E, F, Oの7点から異なる3点を同時に選ぶとき,
(1) 選んだ3点が一直線上に並ぶ確率を求めよ.
(2) 選んだ3点を結ぶと正三角形ができる確率を求めよ.
(3) 選んだ3点を結ぶと面積が\dfrac{\sqrt{3}}{3}より大きい三角形ができる確率を求めよ.

解答

次に一般の正n角形の問題です。

3.(一橋大)
nを4以上の整数とする.正n角形の2つの頂点を無作為に選び,それらを通る直線をlとする.さらに,残りn-2個の頂点から2つの頂点を無作為に選び,それらを通る直線をmとする.直線lと直線mが平行になる確率を求めよ.

解答

4.(山梨大)
nを3以上の整数とする.半径1の円に内接する正n角形を考える.正n角形のn個の頂点\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\cdots,~\mbox{A}_nの中から異なる3点を無作為に選んで,これらを頂点とする三角形を作るとき,鋭角三角形になる確率を求めよ.ただし,鋭角三角形とは3つの内角がすべて90°より小さい三角形のことをいう.

解答

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