トーナメント

2018年8月19日

次にトーナメントの問題です。

1.(東京水産大)
A, B, C, D, E, F, G, Hの8名が右図の組み合わせのトーナメント戦で競技を行う.AとHが対戦した場合,勝つ確率はともに\dfrac{1}{2}である.同様にB, C, D, E, F, Gのどの2名が対戦した場合も,勝つ確率はともに\dfrac{1}{2}である.一方,AあるいはHがB, C, D, E, F, Gと対戦した場合,勝つ確率は\dfrac{2}{3}である.いずれの対戦においても引き分けはないとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 決勝戦でAとHが対戦する確率を求めよ.
(2) 決勝戦でBとEが対戦する確率を求めよ.
(3) Aが優勝する確率を求めよ.

解答

2.(早稲田大)
ある競技の大会にA, B, C, Dの4チームが参加し,2チームずつが試合をする.このうちチームAは,他のチームに対して確率p~(0<p<1)で勝つ.その他の3チームB, C, Dの強さはすべて同じであり,勝つ確率は\dfrac{1}{2}である.試合に引き分けはないものとする.
この4チームが総当たりのリーグ戦を行う.すなわち,すべてのチームが3試合を行い,総勝利数が最も多いチームを優勝とする.総勝利数が最も多いチームが複数ある場合には,そのずべてのチームを優勝とする.
(1) チームAが全勝して優勝する確率を求めよ.
(2) チームAが2勝1敗で優勝する確率を求めよ.
(3) チームAが1勝2敗で優勝する確率を求めよ.
(4) チームAが優勝する確率が高い競技方式は,総当たりのリーグ戦と勝ち残りのトーナメント戦のどちらか.まず結論を示し,次にその理由を述べよ.ただし,勝ち残りのトーナメント戦とは,2試合の準決勝を行い,それぞれで勝った2チームが決勝で戦い優勝を決める競技方式を指す.

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