巴戦

2017年4月7日

次に巴戦の問題です。まずは具体的な問題から。

1.(北海道大)
A, B, Cの3人が次のように勝負を繰り返す.1回目にはAとBの間で硬貨投げにより勝敗を決める.2回目以降には,直前の回の勝者と参加しなかった残りの1人との間で,やはり硬貨投げにより勝敗を決める.この勝負を繰り返し,誰かが2連勝するか,または,4回目の勝負を終えたとき終了する.ただし,硬貨投げで勝つ確率はそれぞれ\dfrac{1}{2}である.
(1) A, B, Cのうちの誰かが2連勝して終了する確率を求めよ.
(2) Aが2連勝して終了する確率を求めよ.

解答

次は巴戦ではありませんが、2回同じ目が連続したら終わりなので、巴戦型の確率といえます。

2.(北海道大)
1つのサイコロを投げ続けて,同じ目が2回連続して出たら終了するものとする.
(1) ちょうど3回目に終了する確率を求めよ.
(2) 3回目以内(3回目も含む)に終了する確率を求めよ.
(3) ちょうどr回目に終了する確率を求めよ.ただし,r \geqq 2とする.
(4) r回目以内(r回目も含む)に終了する確率を求めよ.ただし,r \geqq 2とする.

解答

次に一般の場合を2つ。

3.(北海道大)
A, B, Cの3人が次のように勝負を繰り返す.1回目にはAとBの間で硬貨投げにより勝敗を決める.2回目以降には,直前の回の勝者と参加しなかった残りの1人との間で,やはり硬貨投げにより勝敗を決める.この勝負を繰り返し,誰かが2連勝するか,または,100回目の勝負を終えたとき,終了する.ただし,硬貨投げで勝つ確率はそれぞれ\dfrac{1}{2}である.
(1) 4回以内の勝負でAが2連勝する確率を求めよ.
(2) n=2,~3,~\cdots,~100とする.n回以内の勝負で,A, B, Cのうち誰かが2連勝する確率を求めよ.

解答

4.(東京大)
A, B, Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,2連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.
(a) 1試合目でAとBが対戦する.
(b) 2試合目で,1試合目の勝者と,1試合目で待機していたCが対戦する.
(c) k試合目で優勝チームが決まらない場合は,k試合目の勝者と,k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する.ここでkは2以上の整数とする.
なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は\dfrac{1}{2}で,引き分けはないものとする.
(1) ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ.
(2) nを2以上の整数とする.ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ.
(3) mを正の整数とする.総試合数が3m以下でAが優勝する確率を求めよ.

解答

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