巴戦

2017年3月6日2017年4月7日

次に巴戦の問題です。まずは具体的な問題から。

１．(北海道大)
A, B, Cの3人が次のように勝負を繰り返す．1回目にはAとBの間で硬貨投げにより勝敗を決める．2回目以降には，直前の回の勝者と参加しなかった残りの1人との間で，やはり硬貨投げにより勝敗を決める．この勝負を繰り返し，誰かが2連勝するか，または，4回目の勝負を終えたとき終了する．ただし，硬貨投げで勝つ確率はそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ である．
(1) A, B, Cのうちの誰かが2連勝して終了する確率を求めよ．
(2) Aが2連勝して終了する確率を求めよ．

→解答

次は巴戦ではありませんが、2回同じ目が連続したら終わりなので、巴戦型の確率といえます。

２．(北海道大)
1つのサイコロを投げ続けて，同じ目が2回連続して出たら終了するものとする．
(1) ちょうど3回目に終了する確率を求めよ．
(2) 3回目以内(3回目も含む)に終了する確率を求めよ．
(3) ちょうど $r$ 回目に終了する確率を求めよ．ただし， $r \geqq 2$ とする．
(4) $r$ 回目以内( $r$ 回目も含む)に終了する確率を求めよ．ただし， $r \geqq 2$ とする．

→解答

次に一般の場合を2つ。

３．(北海道大)
A, B, Cの3人が次のように勝負を繰り返す．1回目にはAとBの間で硬貨投げにより勝敗を決める．2回目以降には，直前の回の勝者と参加しなかった残りの1人との間で，やはり硬貨投げにより勝敗を決める．この勝負を繰り返し，誰かが2連勝するか，または，100回目の勝負を終えたとき，終了する．ただし，硬貨投げで勝つ確率はそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ である．
(1) 4回以内の勝負でAが2連勝する確率を求めよ．
(2) $n=2,~3,~\cdots,~100$ とする． $n$ 回以内の勝負で，A, B, Cのうち誰かが2連勝する確率を求めよ．

→解答

４．(東京大)
A, B, Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，2連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(a) 1試合目でAとBが対戦する．
(b) 2試合目で，1試合目の勝者と，1試合目で待機していたCが対戦する．
(c) $k$ 試合目で優勝チームが決まらない場合は， $k$ 試合目の勝者と， $k$ 試合目で待機していたチームが $k+1$ 試合目で対戦する．ここで $k$ は2以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は $\dfrac{1}{2}$ で，引き分けはないものとする．
(1) ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ．
(2) $n$ を2以上の整数とする．ちょうど $n$ 試合目でAが優勝する確率を求めよ．
(3) $m$ を正の整数とする．総試合数が $3m$ 以下でAが優勝する確率を求めよ．