確率の最大値

2017年4月7日

確率の最大値の問題です。

1.(宮城教育大)
箱の中に1番からN番までの番号札が1枚ずつ合計N枚入っている.この箱から同時に4枚の番号札を取り出す.この4枚の札の中で,最小の番号が3である確率をP_Nとする.ただし,N \geqq 6とする.
(1) P_Nを求めよ.
(2) P_N<P_{N+1}となるNをすべて求めよ.
(3) P_Nを最大にするNとその最大値を求めよ.

解答

2.(富山大)
青球6個と赤球n(n \geqq 2)が入っている袋から,3個の球を同時に取り出すとき,青球が1個で赤球が2個である確率をP_nとする.
(1) P_nnの式で表せ.
(2) P_n>P_{n+1}を満たす最小のnを求めよ.
(3) P_nを最大にするnの値を求めよ.

解答

3.(一橋大)
白球15個と赤球4個が箱に入っている.この箱から球を1個取り出す操作を繰り返す.ただし,取り出した球はもとに戻さない.n回目に取り出した球が3個目の赤球である確率をp_nとする.p_nが最大となるnの値を求めよ.

解答

4.(慶応大)
さいころを続けて100回投げるとき,1の目がちょうどk回~(0 \leqq k \leqq 100)出る確率は_{100}\mbox{C}_k\times\dfrac{(~~~~~)}{6^{100}}であり,この確率が最大になるのはk=(~~~~~)のときである.次に,さいころを続けてn回投げるとき,1の目がちょうどk回~(0 \leqq k \leqq n)出る確率を考える.nを固定したとき,この確率を最大にするようなkの値が2個存在するための必要十分条件は,nを(  )で割ったときの余りが(  )となることである.

解答

5.(名古屋大)
kを2以上の整数とする.硬貨を繰り返し投げて,表の出た回数がk回になるか,あるいは,裏の出た回数がk回になった時点で終了する.
(1) k \leqq n \leqq 2k-1を満たす整数nに対して,ちょうどn回で終了する確率p_nを求めよ.
(2) k \leqq n \leqq 2k-2を満たす整数nに対して,\dfrac{p_{n+1}}{p_n}を求めよ.
(3) p_nを最大にするnを求めよ.

解答

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