ポリアの壺

2017年4月10日

ポリアの壺の問題です。まずは具体的な問題から。

1.(豊橋技術科学大)
白球5個と赤玉4個が入った袋がある.この袋から1球を取り出す.それが白球であれば,取り出した白球にさらに2個の白球を加えてもとの袋に戻す.取り出した球が赤球であれば,2個の赤球を加えてもとの袋に戻す.2回目および3回目も同様に,白球が取り出されれば2個の白球を追加し,赤球が取り出されれば2個の赤球を追加してもとに戻す.
(1) この3回の操作の過程で,白球が2回,赤球が1回取り出される確率を求めよ.
(2) 3回目に取り出された球が白球である確率を求めよ.

解答

2.(東京慈恵会医大)
壷の中に赤球が3個,白球が2個入っている.無作為に1つの球を取り出して,色を見てもとへ戻し同じ色の玉をさらに1つ加える.引き続いて1つの球を取り出し,色を見てその球および1個の同色の球を壷の中に加える.3回目にまた1つの球を取り出す.このとき,k回目に赤球が出るという事象をA_kとする(k=1,~2,~3).確率P(A_1 \cap A_2 \cap A_3),~P(A_3)を求めよ.

解答

次に一般的な問題です。

3.(名古屋大)
袋の中に赤と白の玉が1個ずつ入っている.「この袋から玉を1個取り出して戻し,出た玉と同じ色の玉を袋の中に1個追加する」という操作をN回繰り返した後,赤の玉が袋の中にm個ある確率をp_N(m)とする.
(1) p_3(m)を求めよ.
(2) 一般のNに対しp_N(m)を求めよ.

解答

4.(名古屋大)
袋の中に赤と黄と青の玉が1個ずつ入っている.「この袋から玉を1個取り出して戻し,出た玉と同じ色の玉を袋の中に1個追加する」という操作をN回繰り返した後,赤の玉が袋の中にm個ある確率をp_N(m)とする.
(1) 連比p_3(1):p_3(2):p_3(3):p_3(4)を求めよ.
(2) 一般のNに対しp_N(m)~(1 \leqq m \leqq N+1)を求めよ.

解答

5.(同志社大)
箱から玉を1個取り出し,この玉に1個の玉を加えた合計2個の玉を箱に戻す試行を繰り返す.新たに加える玉は白あるいは黒のみとする.
(1) 最初に,2個の白玉と3個の黒玉が入っている箱を考える.新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とするとき,
① 3回目の試行において白玉を取り出す確率を求めよ.
n回目の試行において白玉を取り出す確率P_nを求めよ.
{\displaystyle\lim_{n \to \infty}} P_nを求めよ.
(2) 最初に,3個の白玉と4個の黒玉が入っている箱を考える.新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とするとき,
① 3回目の試行において白玉を取り出す確率を求めよ.
n回目の試行において白玉を取り出す確率Q_nとするとき,Q_nQ_{n-1}との関係式を求めよ.ただし,n \geqq 2とする.
{\displaystyle\lim_{n \to \infty}} Q_nを求めよ.

解答

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