原因の確率3

独立試行と原因の確率の問題です。

1.(日本大)
A君は家を1軒訪問するたびに,\dfrac{1}{3}の確率でカサを忘れる.ある日,A君はカサを1本持って出かけて,4軒の家を訪問し自宅に帰ったときのカサがなかったとするとき,A君が4軒目の家に忘れてきた確率を求めよ.ただし,4軒以外のところに忘れることはないとする.

2.(早稲田大)
5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が,正月にA, B, C3軒をこの順に年始まわりをして家に帰ったとき,帽子を忘れてきたことに気がついた.2軒目の家Bに忘れてきた確率を求めよ.

3.(京都産業大)
4人でじゃんけんをして,負けた者から順に抜けていき,最後に残った1人を優勝者とする.ただし,あいこの場合も1回のじゃんけんを行ったものとする.
(1) 1回目の4人の手の出し方は(  )通りある.
1回目に3人が負ける確率は(  )である.
1回目に2人が負ける確率は(  )である.
1回目にあいこになる確率は(  )である.
(2) 1回目で2人が負け,2回目で優勝者が決まる確率は(  )である.ちょうど2回目で優勝者が決まる確率は(  )である.
(3) ちょうど2回目で優勝者が決まった場合,1回目があいこである条件付き確率は(  )である.

4.(東京大)
A, B, Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,2連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.
(a) 1試合目でAとBが対戦する.
(b) 2試合目で,1試合目の勝者と,1試合目で待機していたCが対戦する.
(c) k試合目で優勝が決まらない場合は,k試合目の勝者と,k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する.ここでkは2以上の整数とする.
なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は\dfrac{1}{2}で,引き分けはないものとする.
(1) nを2以上の整数とする.ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ.
(2) mを正の整数とする.総試合数が3m回以下でAが優勝したとき,Aの最後の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ.

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