事象の独立と従属1

試行の独立(独立試行)に関してはすでに学習していますが、ここでは事象の独立と従属についてです。直感的には判断しづらいです。

1.((1) 宮崎大)
(1) 事象ABが独立であるとき,A\overline{B}も独立であることを証明せよ.
(2) 事象ABが独立であるとき,\overline{A}\overline{B}も独立であることを証明せよ.

2.(筑波大)
ある町の住人を任意に選んで1,~2,~3と番号をつけ,それぞれの人の生まれた曜日を調べる.ただし,町の人口は十分多く,その中でどの曜日に生まれた人も同じ割合でいるとする.3人のうち少なくとも2人が同じ曜日生まれであるという事象をA,1番の人が日曜日生まれであるという事象をB,また,3人全員が同じ曜日生まれであるという事象をCとする.
(1) 事象Aの確率を求めよ.
(2) 事象Aと事象Bとは独立であることを示せ.
(3) 事象Cが起こらないことがあらかじめわかったときの事象Aの条件つき確率を求めよ.

3.(宮崎医大)
1枚の硬貨を3回投げる試行で,1回目に表が出る事象をA,少なくとも2回表が出る事象をB,3回とも同じ面である事象をCとする.
(1) 事象A,~B,~C,~A \cap B,~A \cap Cのそれぞれの起こる確率を求めよ.
(2) 事象ABは独立であるかどうか調べよ.
(3) 事象ACは独立であるかどうか調べよ.

4.(名古屋市大)
硬貨をn回投げる.このとき,1回以上表が出て,かつ1回以上裏が出る事象をA,表が0回または1回出る事象をBとする.
(1) n=2のとき,事象ABは独立か従属か調べよ.
(2) n=3のとき,事象ABは独立か従属か調べよ.

5.(京都大)
N角形 (N \geqq 3)の頂点に0,~1,~\cdots,~N-1と時計まわりに番号がつけてある.頂点0を出発点とし,サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し,着いた頂点の番号をXとする.次にもう1度サイコロを投げて出た目の数だけ,頂点Xから時計まわりに移動し,着いた頂点の番号をYとする.このようにして定めた確率変数X,~Yについて
(1) N=5のとき,X,~Yは互いに独立か.
(2) N=6のとき,X,~Yは互いに独立か.
ただし,確率変数X,~Yが互いに独立であるとは,X=iとなる確率P(X=i)X=iかつY=jとなる確率P(X=i,Y=j)との間に次の等式(*)が任意のi,~j~(0 \leqq i,~j \leqq N-1)について成り立つことである.
(*) P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)

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