事象の独立と従属１

2017年3月21日

試行の独立(独立試行)に関してはすでに学習していますが、ここでは事象の独立と従属についてです。直感的には判断しづらいです。

１．((1) 宮崎大)
(1) 事象 $A$ と $B$ が独立であるとき， $A$ と $\overline{B}$ も独立であることを証明せよ．
(2) 事象 $A$ と $B$ が独立であるとき， $\overline{A}$ と $\overline{B}$ も独立であることを証明せよ．

２．(筑波大)
ある町の住人を任意に選んで1,~2,~3と番号をつけ，それぞれの人の生まれた曜日を調べる．ただし，町の人口は十分多く，その中でどの曜日に生まれた人も同じ割合でいるとする．3人のうち少なくとも2人が同じ曜日生まれであるという事象を $A$ ，1番の人が日曜日生まれであるという事象を $B$ ，また，3人全員が同じ曜日生まれであるという事象を $C$ とする．
(1) 事象 $A$ の確率を求めよ．
(2) 事象 $A$ と事象 $B$ とは独立であることを示せ．
(3) 事象 $C$ が起こらないことがあらかじめわかったときの事象 $A$ の条件つき確率を求めよ．

３．(宮崎医大)
1枚の硬貨を3回投げる試行で，1回目に表が出る事象を $A$ ，少なくとも2回表が出る事象を $B$ ，3回とも同じ面である事象を $C$ とする．
(1) 事象 $A,~B,~C,~A \cap B,~A \cap C$ のそれぞれの起こる確率を求めよ．
(2) 事象 $A$ と $B$ は独立であるかどうか調べよ．
(3) 事象 $A$ と $C$ は独立であるかどうか調べよ．

４．(名古屋市大)
硬貨を $n$ 回投げる．このとき，1回以上表が出て，かつ1回以上裏が出る事象を $A$ ，表が0回または1回出る事象を $B$ とする．
(1) $n=2$ のとき，事象 $A$ と $B$ は独立か従属か調べよ．
(2) $n=3$ のとき，事象 $A$ と $B$ は独立か従属か調べよ．

５．(京都大)
正 $N$ 角形 ( $N \geqq 3$ )の頂点に $0,~1,~\cdots,~N-1$ と時計まわりに番号がつけてある．頂点0を出発点とし，サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し，着いた頂点の番号を $X$ とする．次にもう1度サイコロを投げて出た目の数だけ，頂点 $X$ から時計まわりに移動し，着いた頂点の番号を $Y$ とする．このようにして定めた確率変数 $X,~Y$ について
(1) $N=5$ のとき， $X,~Y$ は互いに独立か．
(2) $N=6$ のとき， $X,~Y$ は互いに独立か．
ただし，確率変数 $X,~Y$ が互いに独立であるとは， $X=i$ となる確率 $P(X=i)$ と $X=i$ かつ $Y=j$ となる確率 $P(X=i,Y=j)$ との間に次の等式(＊)が任意の $i,~j~(0 \leqq i,~j \leqq N-1)$ について成り立つことである．
(＊) $P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$

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