関数の連続

2019年8月26日

関数の連続性の問題です。

1.(岩手大)
関数f(x)f(x)=\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\cos x-1}{x^2}~(x \ne 0)\\ A~~~~~~(x=0) \end{array}\right.で定義する.関数f(x)x=0で連続になるように定数Aの値を定めよ.

解答

2.(神戸商船大)
実数xに対して[x]n \leqq x < n+1を満たす整数nを表すとき,
(1) 関数y=[x](x-[x])のグラフを0 \leqq x \leqq 3の範囲でかけ.
(2) 関数f(x)=([x]+a)(bx-[x])x=1x=2で連続となるように定数a,~bの値を求めよ.また,y=f(x)のグラフを-3 \leqq x \leqq 3の範囲でかけ.

解答

3.(静岡県立大)
次の関数がxのすべての値に対して連続となるように定数a,~bの値を定めよ.また,そのときのy=f(x)のグラフをかけ.
f(x)={\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}

解答

4.(高知大)
f(x)={\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{\sin ax-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}がすべての実数に対して連続となるような正の定数aの最小値を求めよ.また,そのときの関数y=f(x)のグラフの概形を描け.

解答

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