関数の連続

2017年3月25日2019年8月26日

関数の連続性の問題です。

１．(岩手大)
関数 $f(x)$ を $f(x)=\left\{\begin{array}{l} \dfrac{\cos x-1}{x^2}~(x \ne 0)\\ A~~~~~~(x=0) \end{array}\right.$ で定義する．関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続になるように定数 $A$ の値を定めよ．

→解答

２．(神戸商船大)
実数 $x$ に対して $[x]$ は $n \leqq x < n+1$ を満たす整数 $n$ を表すとき，
(1) 関数 $y=[x](x-[x])$ のグラフを $0 \leqq x \leqq 3$ の範囲でかけ．
(2) 関数 $f(x)=([x]+a)(bx-[x])$ が $x=1$ と $x=2$ で連続となるように定数 $a,~b$ の値を求めよ．また， $y=f(x)$ のグラフを $-3 \leqq x \leqq 3$ の範囲でかけ．

→解答

３．(静岡県立大)
次の関数が $x$ のすべての値に対して連続となるように定数 $a,~b$ の値を定めよ．また，そのときの $y=f(x)$ のグラフをかけ．
$f(x)={\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}$

→解答

４．(高知大)
$f(x)={\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{\sin ax-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ がすべての実数に対して連続となるような正の定数 $a$ の最小値を求めよ．また，そのときの関数 $y=f(x)$ のグラフの概形を描け．