微分可能1

2019年8月26日

微分可能性についてです。

1.(宇都宮大)
(1) 「関数f(x)x=aにおいて微分可能である」ことの定義を述べよ.
(2) 関数f(x)x=aにおいて微分可能ならば,f(x)x=aにおいて連続であることを証明せよ.
(3) (2)で証明した命題の逆は正しいか.正しければそれを証明し,正しくなければそれを証明せよ.

解答

2.(防衛医大)
-\infty<x<\inftyで定義される関数y=x||x|-1||x^2-2|は微分可能でない点をいくつもっているか.

解答

3.(島根大)
以下の関数について
(1) 原点x=0での微分係数f'(0)が存在するときはf'(0)の値を求め,存在しないときはその理由を述べよ.
(2) 微分係数f'(0)が存在するときには,さらに導関数f'(x)が原点で連続かどうかを調べよ.
(ア) f(x)=\left\{\begin{array}{l} x\sin\dfrac{1}{x}~(x \ne 0)\\ 0~(x=0) \end{array}\right.
(イ) f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2\sin\dfrac{1}{x}~(x \ne 0)\\ 0~(x=0) \end{array}\right.
(ウ) f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^3\sin\dfrac{1}{x}~(x \ne 0)\\ 0~(x=0) \end{array}\right.

解答

4.(芝浦工業大)
関数f(x)=1 (xは有理数)
0 (xは無理数)
に対して,関数g(x),~h(x)g(x)=xf(x),~h(x)=x^2f(x)によって定め,g(x),~h(x)x=0における連続性,微分可能性を調べる.
任意のxに対して|g(x)-g(0)| \leqq (~~~~~)であるから,g(x)x=0で(  )である.また,x \ne 0のとき\left|\dfrac{h(x)-h(0)}{x}-0\right| \leqq (~~~~~)であるから,h(x)x=0で(  )である.

解答

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