微分可能2

2019年8月26日

1の続きです。

1.((1) 鳥取大 (2) 防衛大)
(1) 関数f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^3+\alpha x~(x \geqq 2)\\ \beta x^2-\alpha x~(x<2) \end{array}\right.x=2で微分可能となるような\alpha,~\betaの値を求めよ.
(2) 関数f(x)=\left\{\begin{array}{l} \log x~~~(x \geqq 1)\\ \dfrac{ax+b}{x+1}~(x<1) \end{array}\right.x=1で微分可能であるようなaの値を求めよ.

解答

2.(神戸大)
aを実数とし,関数f(x)を次のように定義する.
f(x)=\left\{\begin{array}{l} a\sin x+\cos x~\left(x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)\\ x-\pi~~~~~~~~\left(x>\dfrac{\pi}{2}\right) \end{array}\right.
(1) f(x)x=\dfrac{\pi}{2}で連続となるaの値を求めよ.
(2) (1)で求めたaの値に対し,x=\dfrac{\pi}{2}f(x)は微分可能でないことを示せ.

解答

3.(慶応大)
a,~b,~c,~dは実数とする.関数
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x-1~~~~~~~(x \leqq -1)\\ ax^2+bx+c~(-1<x<1)\\ d-2x~~~~~~~(1 \leqq x) \end{array}\right.
がすべてのxで微分可能であるとき,a=(~~~~~),~d=(~~~~~)である.

解答

4.(筑波大)
f(x)は次のように定められた関数とする.
f(x)=\left\{\begin{array}{l} ae^{-x}~(|x|<1)\\ x^2+bx+c~(|x| \geqq 1) \end{array}\right. (ただし,a,~b,~cは定数である)
(1) f(x)が連続になるように,bcaで表せ.
(2) a,~b,~cをどのようにとってもf(x)が微分可能でない点があることを示せ.

解答

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