接線の方程式1

2019年8月26日

接線の方程式の問題です。

1.(筑波大)
曲線C:y=\dfrac{1}{x+2}~(x>-2)を考える.曲線C上の点\mbox{P}_1\left(0,\dfrac{1}{2}\right)における接線をl_1とし,l_1x軸との交点を\mbox{Q}_1,点\mbox{Q}_1を通りx軸と垂直な直線と曲線Cとの交点を\mbox{P}_2とおく.以下同様に,自然数n~(n \geqq 2)に対して,点\mbox{P}_nにおける接線をl_nとし,l_nx軸との交点を\mbox{Q}_n,点\mbox{Q}_nを通りx軸と垂直な直線と曲線Cとの交点を\mbox{P}_{n+1}とおく.
(1) l_1の方程式を求めよ.
(2) \mbox{P}_nx座標をx_n~(n \geqq 1)とする.x_{n+1}x_nを用いて表し,x_nnを用いて表せ.
(3) l_n,~x軸,~y軸で囲まれる三角形の面積S_nを求め,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_nを求めよ.

解答

2.(九州大)
xy平面上に曲線y=\dfrac{1}{x^2}をかき,この曲線の第1象限内の部分をC_1,第2象限内の部分をC_2とよぶ.C_1上の点P_1\left(a,\dfrac{1}{a^2}\right)からC_2に向けて接線を引き,C_2との接点をQ_1とする.次に点Q_1からC_1に向けて接線を引き,C_1との接点をP_2とする.次に点P_2からC_2に向けて接線を引き,接点をQ_2とする.以下同様に続けて,C_1上の点列P_nC_2上の点列Q_nを定める.
(1) 点Q_1の座標を求めよ.
(2) 三角形P_1Q_1P_2の面積S_1を求めよ.
(3) 三角形P_nQ_nP_{n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)の面積S_nを求めよ.
(4) 級数{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}S_nの和を求めよ.

解答

3.(京都大)
関数f(x)は2回微分可能であり,f(0)>0>f'(0)かつすべてのxに対しf''(x)<0を満たすとする.
(1) f(a)=0を満たす正の数aがただ1つ存在することを示せ.
(2) 曲線y=f(x)の点(t,f(t))~(0 \leqq t \leqq a)における曲線の接線とx軸,およびy軸で囲まれた三角形の面積をS(t)とするとき,S(t)の最小値を与える点が区間(0,a)内にただ1つ存在することを示せ.

解答

4.(大阪市立大)
0<r<1を満たす実数rに対して,第1象限内の曲線C:x^r+y^r=1を考える.曲線C上の点P(p,q)をとり,lを点PにおけるCの接線とし,lx軸およびy軸と交わる点をそれぞれA, Bとする.
(1) 点Aと点Bの座標をp,~q,~rを用いて表せ.
(2) 点Pを曲線C上のどこにとっても線分ABの長さが同じになるようなrの値を求めよ.

解答

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