曲率

2019年8月26日

法線の方程式の問題です。高校では扱われませんが曲率半径・曲率にかかわる問題です。数学的な背景があるので入試でもよく出題されます。

1.(京都産業大)
xy平面上の曲線C:y=e^xについて,次の問いに答えよ.
(1) 点(a,e^a)におけるCの接線の方程式を求めよ.また,点(a,e^a)におけるCの法線l_aの方程式を求めよ.
(2) a \ne 1とする.点(1,e)におけるCの法線l_1と,点(a,e^a)における法線l_aとの交点のx座標をaの式で表せ.
(3) (2)で求めたaの式をh(a)とするとき,{\displaystyle\lim_{a \to 1}}h(a)を求めよ.

解答

2.(横浜国立大)
曲線C:y=\log x (\logは自然対数)上の異なる2点A(a,\log a),~B(b,\log b)におけるCの法線の交点をPとする.
(1) bが限りなくaに近づくとき,Pはある点Qに限りなく近づく.Qの座標をaで表せ.
(2) (1)で求めたQに対して線分AQの長さlaで表せ.
(3) (2)で求めたlを最小にするaの値を求めよ.

解答

3.(信州大)
曲線K:y=\cos 2x~\left(-\dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{4}\right)y軸との交点をPとし,曲線K上に点Pと異なる点Q(t,\cos 2t)をとる.線分PQの垂直二等分線ly軸と交わる点をRとする.
(1) 点Rのy座標をtを用いて表せ.
(2) 2点P, Qを通り,点Pで曲線Kと共通な接線をもつ円をCとする.点Qが点Pに限りなく近づくとき,円Cの半径rはどのような値に近づくか.

解答

4.(名古屋市立大)
曲線C:y=x^2上の2点P(t,t^2), Q(t+h,(t+h)^2)においてそれぞれの法線を引く.法線の交点をRとし,h \to 0としたときRの極限の点を\mbox{R}_0とする.このとき
(1) \mbox{R}_0の座標をtを用いて表せ.
(2) 点Pが曲線C上を動くとき,点\mbox{R}_0の軌跡をy=f(x)の形で表せ.
(3) (2)で求めたy=f(x)のグラフの増減,凹凸を調べて概形をかけ.

解答

5.(大阪市立大)
曲線y=\dfrac{1}{2}x^2~(x>0)上の相異なる2点A\left(a,\dfrac{1}{2}a^2\right), P\left(p,\dfrac{1}{2}p^2\right)における法線の交点をQとする.点Aを固定して,点Pを点Aに限りなく近づけるとき,点Qはある点Bに限りなく近づくとする.このとき,
(1) 点Bの座標および線分ABの長さをaを用いて表せ.
(2) 正の実数aを動かしたときの点Bの軌跡に,直線ABがつねに接することを示せ.

解答

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