接線の方程式2

2019年8月26日

次は陰関数や逆関数の微分を利用して接線の方程式を求める問題です。

1.((1) 信州大 (2) 防衛医大)
(1) 楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1上の点(x_1,y_1)における接線の方程式は,\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1であることを証明せよ.ただし,y_1 \ne 0とする.
(2) 曲線x^2+3xy-y^2=3上の点(1,2)における接線の方程式を求めよ.

解答

2.(福岡大)
曲線x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}上の点を(x_0,y_0)とする.ただし,a>0,~x_0y_0 \ne 0とする.
(1) 点(x_0,y_0)における接線の方程式を求めよ.
(2) (1)の接線とx軸,y軸との交点をそれぞれP, Qとするとき,線分PQの長さを求めよ.

解答

3.(名古屋市立大)
2つの曲線y=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2},~x=\dfrac{1}{4}y^2-1について,
(1) 2曲線の交点の座標を求めよ.
(2) (1)で求めた交点において,2曲線のなす角\thetaを求めよ.ただし,\theta0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}とする.

解答

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