接線の方程式3

2019年8月26日

次は媒介変数表示された曲線の接線の方程式です。まずはサイクロイドから。

1.
曲線x=\theta-\sin\theta,~y=1-\cos\theta\theta=\dfrac{\pi}{2}に対応する点における接線の方程式を求めよ.

解答

次にアステロイドです。

2.(芝浦工業大)
tを媒介変数として,次の式で表される曲線をCとする.
\left\{\begin{array}{l} x=\cos^3 t\\ y=\sin^3 t \end{array}\right.
ただし,0<t<\dfrac{\pi}{2}とする.また,曲線C上の点Pにおける接線とx軸,y軸との交点をそれぞれA, Bとする.
(1) 曲線C上のt=\dfrac{\pi}{3}に対応する点Pにおける接線の傾きを求めよ.
(2) 線分ABの長さは点Pの位置に関係なく一定であることを示せ.
(3) t~\left(0<t<\dfrac{\pi}{2}\right)に対し,上記のように2点A, Bを与え,さらに点Q(3\sin t,2\cos t)を定める.\bigtriangleupABQの面積をS(t)とするとき,S(t)の最小値を求めよ.

解答

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