共通接線

2019年8月26日

共通接線の問題です。まずは2つの曲線が接するときの接点における共通接線の問題です。

１．((1) 東海大　(2) 上智大)
(1) y=\log xとy=ax^2~(a \ne 0)のグラフが共有点をもち，この点で共通の接線をもつのは，a=(~~~~~)のときであり，その共通の接線の方程式はy=(~~~~~)である．
(2) y=x^2+ax+bとy=\dfrac{8}{x}のグラフは点(2,4)で交わり，この点における接線が互いに直交するという．このとき，a,~bの値を求めよ．

→解答

次に2つの曲線が離れているときの共通接線の問題です。まずはどちらかが2次関数の場合から。この場合は判別式が使えます。

２．(群馬大)
2つの曲線y=x^2,~y=\dfrac{1}{x}の両方に接する直線を求めよ．

→解答

次にともに2次関数でない場合。この場合は判別式は使えません。

３．(埼玉大)
a>1とし，xy平面上の2つの曲線y=e^xとy=e^{ax}の共通接線の接点をそれぞれP(p,e^p), Q(q,e^{aq})とする．
(1) p,~qをaを用いて表せ．
(2) 不等式p+q>0が成り立つことを示せ．

→解答

４．(宮崎大)
2曲線y=e^x,~y=\log xについて
(1) 曲線y=e^x上の点(a,e^a)における接線の方程式を求めよ．
(2) (1)で求めた接線が曲線y=\log xに接するとき，aの満たす関係式を求めよ．
(3) (2)の条件を満たすaの値は-2<a<-1と1<a<2の範囲に1つずつあることを示せ．

→解答

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数学Ⅲ　微分法とその応用共通接線

Posted by 山彦のフドウ