共通接線

2019年8月26日

共通接線の問題です。まずは2つの曲線が接するときの接点における共通接線の問題です。

1.((1) 東海大 (2) 上智大)
(1) y=\log xy=ax^2~(a \ne 0)のグラフが共有点をもち,この点で共通の接線をもつのは,a=(~~~~~)のときであり,その共通の接線の方程式はy=(~~~~~)である.
(2) y=x^2+ax+by=\dfrac{8}{x}のグラフは点(2,4)で交わり,この点における接線が互いに直交するという.このとき,a,~bの値を求めよ.

解答

次に2つの曲線が離れているときの共通接線の問題です。まずはどちらかが2次関数の場合から。この場合は判別式が使えます。

2.(群馬大)
2つの曲線y=x^2,~y=\dfrac{1}{x}の両方に接する直線を求めよ.

解答

次にともに2次関数でない場合。この場合は判別式は使えません。

3.(埼玉大)
a>1とし,xy平面上の2つの曲線y=e^xy=e^{ax}の共通接線の接点をそれぞれP(p,e^p), Q(q,e^{aq})とする.
(1) p,~qaを用いて表せ.
(2) 不等式p+q>0が成り立つことを示せ.

解答

4.(宮崎大)
2曲線y=e^x,~y=\log xについて
(1) 曲線y=e^x上の点(a,e^a)における接線の方程式を求めよ.
(2) (1)で求めた接線が曲線y=\log xに接するとき,aの満たす関係式を求めよ.
(3) (2)の条件を満たすaの値は-2<a<-11<a<2の範囲に1つずつあることを示せ.

解答

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