平均値の定理1

2019年9月8日

平均値の定理にかかわる問題です。まずは具体的な問題から。

1.(龍谷大)
関数f(x)=x^3-xを考える.
(1) 極限値{\displaystyle\lim_{x \to 2}}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}を求めよ.
(2) 0<a<c<bであるa,~b,~cに対し,\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)が成り立っている.このとき,ca,~bで表せ.
(3) a,~b,~cが(2)の関係を満たすとき,極限値{\displaystyle\lim_{b \to a}}\dfrac{c-a}{b-a}を求めよ.

解答

平均値の定理は次のようにも表されます。大学で勉強するテイラーの定理にかかわります。

2.(愛知教育大)
微分可能な関数f(x)については,実数ahに対して
f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h),~0<\theta<1\cdots
を満たす\thetaが存在することが知られている (平均値の定理).
(1) 関数f(x)=x^3に対して,上の①を満たす\thetaa,~hの式で表せ.ただし,a \geqq 0,~h>0とする.
(2) 上の\thetaについて,{\displaystyle\lim_{h \to 0}}\thetaの値を求めよ.

解答

3.(芝浦工業大)
平均値の定理は次のように述べることができる.
aを含む区間Iにおいて関数f(x)が微分可能ならば,Iに属する任意の点a+hに対して
f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h),~0<\theta<1\cdots
を満たす\thetaが存在する.
この定理を用いて,次の問いに答えよ.
(1) f(x)=\sin xかつ51^{\circ}=45^{\circ}+6^{\circ}として,\sin 51^{\circ}の値を公式①の右辺の形で表せ.ただし,右辺は弧度法(ラジアン)で表せ.
(2) p \leqq \sin 51^{\circ} \leqq qかつq-p \leqq 0.05を満たすp,~qを1組求めよ.必要ならば次の数値を用いてもよい.
\pi=3.1415\cdots,~\sqrt{2}=1.4142\cdots,~\sqrt{3}=1.7320\cdots

解答

次に平均値の定理を利用する問題です。

4.(静岡大)
微分可能な関数f(x)g(x)が,f'(x)=g(x),~g'(x)=-f(x)を満たしている.また,次の条件
f(a)=f(b)=0, 区間(a,b)で常にf(x) \ne 0
を満たす実数a,~b~(a<b)が存在している.
(1) g(c)=0,~a<c<bを満たす実数cが存在することを示せ.
(2) g(c)=0,~a<c<bを満たす実数cは,ただ1つであることを示せ.

解答

5.(九州大)
2以上の自然数nに対して,関数f_n(x)f_n(x)=(x-1)(2x-1)\cdots(nx-1)と定義する.k=1,~2,~\cdots,~n-1に対して,f_n(x)が区間\dfrac{1}{k+1}<x<\dfrac{1}{k}でただ1つの極値をとることを証明せよ.

解答

最後に平均値の定理を用いて極限を求める問題です。

6.(弘前大)
次の極限値を求めよ.ただし,cc \ne 0を満たす定数である.
{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}(\sin\sqrt{x+c}-\sin\sqrt{x})

解答

7.(富山大)
nは自然数とする.
(1) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{\log n}{\log(n+1)}=1を示せ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}n(\log n)^2\left\{\sin\left(\dfrac{1}{\log n}\right)-\sin\left(\dfrac{1}{\log(n+1)}\right)\right\}を求めよ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ