平均値の定理2

2019年9月8日

コーシーの平均値の定理に関わるです。使用してよいのかダメなのかで有名なロピタルの定理はこの定理を利用して証明されます。ちなみに管理人は使い方さえ間違わなければ使ってもよいと考えます。社会人や再受験の方がいるのに禁止するのもおかしな話ですし、高校の範囲では証明できないとはいえ数学的に正しいことを誤りとするのはおかしな話です。それを言い出したら他にも怪しいものがたくさんあります。

1.(和歌山県立医大)
a<bとする.関数f(x),~g(x)は閉区間[a,b]で連続,開区間(a,b)で導関数f'(x),~g'(x)をもち,(a,b)g'(x) \ne 0とする.このとき,
(1) \varphi(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\{g(x)-g(a)\}なる関数を用いて
\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)},~a<c<bなるcが存在することを証明せよ.
(2) (1)の結果を用いて,もし,{\displaystyle\lim_{x \to a}}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}が存在すれば{\displaystyle\lim_{x \to a}}\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}も存在して,両者が一致することを証明せよ.
(3) (2)の結果を用いて,次の極限を求めよ.
{\displaystyle\lim_{x \to 1}}\dfrac{e^{\sqrt{2}x}-e^{\sqrt{2}}}{e^{\sqrt{3}x}-e^{\sqrt{3}}}

解答

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