関数の増減

2017年3月26日2019年9月8日

関数の増減に関わる問題です。関数の増減は平均値の定理により証明されます。高校で平均値の定理を扱うのはこれを証明することが主な目的です。

１．(金沢大)
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ が区間 $a<x<b$ でつねに正ならば， $f(x)$ はこの区間で増加関数(単調増加ともいう)であることを証明せよ．

２．(京都大)
$f(x)=\dfrac{a-\cos x}{x^2}$ が $0 < x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で増加関数となるような定数 $a$ のうちで最大のものを求めよ．

３．(防衛大)
関数 $f(x)$ が
(ⅰ) 任意の実数 $x,~y$ について， $1+f(x)f(y) \ne 0$ かつ
$f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}$
(ⅱ) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(x)}{x}=1$
を満たすとき，
(1) すべての $x$ で $f'(x)$ が存在することを示せ．
(2) $f(-x)=-f(x)$ を示せ．
(3) $f(x)$ は増加関数であることを示せ．