極値1

2019年9月12日

極値にかかわる問題です。極値の定義を正確に言えるでしょうか。まずは分数関数の極値を求める便利な公式から。分数関数は微分するとき商の微分法を用いることになるので極値を求めるのがかなり面倒です。それをだいぶ簡単にしてくれます。恥ずかしながら私も生徒から教わりました。大学への数学の1対1だかスタ演に書いてあるようです。よくもまあ色々と思いつくものです。

1.
関数y=\dfrac{f(x)}{g(x)}x=\alphaにおいて極値をとるとき,等式\dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}=\dfrac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}が成り立つことを示せ.ただし,f(x),~g(x)はともにx=\alphaにおいて微分可能であり,g'(\alpha) \ne 0とする.

解答

あとは色々と極値の問題を解いてみましょう。

2.(東京理科大)
f(x)=\dfrac{x^2+4x+1}{x^2+3}のとき,
(1) f(x)=0の解を求めよ.
(2) 関数y=f(x)の極値と,そのときのxの値を求めよ.

解答

3.(神戸大)
(1) 関数f(x)x=aで微分可能であることの定義を述べよ.
(2) 関数f(x)=|x^2-1|e^{-x}x=1で微分可能でないことを示せ.
(3) 関数f(x)=|x^2-1|e^{-x}の極値と,極値をとるときのxの値を求めよ.

解答

4.((1) 東京医大 (2) 横浜市立大)
(1) 関数f(x)=(x^2+ax+b)e^{-x}x=-2x=-1で極値をとるように,定数a,~bの値を定めよ.
(2) 関数f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+2} (a,~b,~cは定数)がx=-2で極小値\dfrac{1}{2}x=1で極大値2をもつ.このときa,~b,~cの値を求めよ.

解答

5.((1) 名城大 (2) 京都府立医大)
(1) 関数f(x)=\dfrac{e^{kx}}{x^2+1}~(k>0)が極値をもつとき,kのとりうる値の範囲を求めよ.
(2) a,~bを実数の定数とする.関数f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+ax+b}が極大値と極小値をもつためのa,~bに関する必要十分条件を求め,点(a,b)の存在範囲を図示せよ.

解答

6.((1) 神戸大 (2) 福島県立医大)
(1) aを実数とする.関数f(x)=ax+\cos x+\dfrac{1}{2}\sin 2xが極値をもたないように,aの値の範囲を定めよ.
(2) 関数f(x)=\dfrac{a-\cos x}{a+\sin x}が,0<x<\dfrac{\pi}{2}の範囲で極大値をもつように,定数aの値の範囲を定めよ.また,その極大値が2となるときのaの値を求めよ.

解答

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