曲線の凹凸

2019年9月12日

曲線の凹凸にかかわる問題です。f''(x)の符号により下に凸か上に凸かが決まりますが、それを証明する問題から。

1.(大阪市立大)
関数y=f(x)の第2次導関数f''(x)の値が常に正とする.このとき,実数a,~b,~t~(a<b,~0 \leqq t \leqq 1)について,不等式
f((1-t)a+tb) \leqq (1-t)f(a)+tf(b)
が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのは,どのような場合か.

解答

次に曲線の凸性を利用して相加相乗平均の不等式を証明する問題を2つ。

2.(お茶の水女子大)
(1) a,~bを異なる実数とし,関数f(x)a,~bを含む区間で第2次導関数f''(x)をもち,f''(x)<0が成り立つものとする.このとき,0 \leqq t \leqq 1に対して,
tf(a)+(1-t)f(b) \leqq f(ta+(1-t)b)
が成り立つことを示せ.
(2) f(x)=\log xに(1)の結果を適用することにより,正の数a,~b,~cに対して,
\sqrt[3]{abc} \leqq \dfrac{a+b+c}{3}
が成り立つことを示せ.ただし,\log xは自然対数とする.

解答

3.(滋賀医科大)
\log xを自然対数,nを自然数として,次の各不等式を証明せよ.ただし,等号成立条件には言及しなくてよい.
(1) 0<a<b,~a \leqq x \leqq bのとき,
\log x \geqq \log a+\dfrac{x-a}{b-a}(\log b-\log a)
(2) a_1,~a_2>0とし,p_1,~p_2 \geqq 0,~p_1+p_2=1のとき,
\log(p_1a_1+p_2a_2) \geqq p_1\log a_1+p_2\log a_2
(3) a_1,~a_2,~\cdots,~a_n>0とし,p_1,~p_2,~\cdots,~p_n \geqq 0,~p_1+p_2+\cdots+p_n=1のとき,
\log{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}p_ia_i \geqq {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}p_i\log a_i
(4) a_1,~a_2,~\cdots,~a_n>0のとき,
\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n}

解答

最後に抽象的な関数の凸性を示す問題を1つ。

4.(京都大)
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数f(x)f(0)=0,~f'(0) =1を満たし,さらに任意の実数a,~bに対して1+f(a)f(b) \ne 0であって
f(a+b)=\dfrac{f(a)+f(b)}{1+f(a)f(b)}
を満たしている.
(1) 任意の実数aに対して,-1<f(a)<1であることを証明せよ.
(2) y=f(x)のグラフはx>0で上に凸であることを証明せよ.

解答

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