グラフ1

2019年3月23日

関数のグラフを描く問題です。凹凸については指示がなければ特に調べなくても構いません。まずは分数関数から。

1.(宮城教育大)
f(x)=\dfrac{x}{(2x-1)(x-2)}とする.
(1) g(x)=2x^3-6x+5とする.このとき,-3<\alpha<-1かつg(\alpha)=0を満たす\alphaが存在することを示せ.さらに,x<\alphaではg(x)<0であり,x>\alphaではg(x)>0であることを示せ.
(2) (1)の\alphaを用いて,関数y=f(x)の増減,極値,グラフの凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.

次は漸近線の求め方について3つ。

2.(富山大)
f(x)=x^3+x^2+7x+3,~g(x)=\dfrac{x^3-3x+2}{x^2+1}とする.
(1) 方程式f(x)=0はただ1つの実数解をもち,その実数解\alpha-2<\alpha<0を満たすことを示せ.
(2) 曲線y=g(x)の漸近線を求めよ.
(3) \alphaを用いて関数y=g(x)の増減を調べ,そのグラフをかけ.ただし,グラフの凹凸を調べる必要はない.

3.(摂南大)
関数f(x)=2\left(x+\dfrac{1}{x-1}\right)+2の極大値は(  ),極小値は(  )である.また曲線y=f(x)の漸近線の方程式はx=(~~~~~)y=(~~~~~)x+(~~~~~)である.

4.(東北大)
関数f(x)=\left|\dfrac{2x^2+x-1}{x-1}\right|について,
(1) 極値を求めよ.
(2) 曲線y=f(x)の漸近線を求めよ.
(3) 曲線y=f(x)の概形をかけ.

最後に発展問題を2つ。

5.(大阪府立大)
a>4とする.関数f(x)f(x)=\dfrac{ax+a}{x^2+ax+a}と定める.関数f(x)の増減,極値,グラフの漸近線を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし,変曲点を求める必要はない.

6.(静岡大)
xの関数f(x)=\dfrac{x}{(x-1)(x-a)}の極値を求め,そのグラフをかけ.ただし,a \leqq 1とする.

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