グラフ4

2019年3月24日

次は少し変わったグラフをいくつか。

1.(奈良女子大)
関数y=\sqrt{1-(x^2-a)^2}のグラフの概形をかけ.ただし,aは定数とする.

次はロジスティック曲線とよばれるものです。

2.(九州大)
f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}とおく.ただし,eは自然対数の底とする.
(1) y=f(x)の増減,凹凸,漸近線を調べ,グラフをかけ.
(2) f(x)の逆関数f^{-1}(x)を求めよ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}n\left\{f^{-1}\left(\dfrac{1}{n+2}\right)-f^{-1}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)\right\}を求めよ.

3.
f(x)=\log\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}とする.
(1) f'(x)を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{x \to +\infty}}f'(x),および,{\displaystyle\lim_{x \to -\infty}}f'(x)の値を求めよ.
(3) y=f(x)のグラフを示せ.

4.(東北大)
f(x)=\sqrt[3]{x^3-x^2}とする.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\{f(x)-(x+a)\}=0をみたすaの値を求めよ.またこのとき,曲線y=f(x)と直線x+aの交点の座標を求めよ.
(2) f(x)の増減と極値を調べて,y=f(x)のグラフをかけ.

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