グラフ６

2017年3月28日2017年7月10日

次は媒介変数表示された曲線のグラフです。まずはサイクロイドとリサジューから。

１．
次の曲線のグラフの概形をかけ．ただし， $a$ は正の定数とする．
(1) $\left\{\begin{array}{l} x=a(\theta-\sin\theta)\\ y=a(1-\cos\theta) \end{array}\right.~(0 < \theta < 2\pi)$
(2) $\left\{\begin{array}{l} x=\sin t\\ y=\sin 2t \end{array}\right.~(0 \leqq t < 2\pi)$

次はトロコイドです。

２．(神戸大)
$r,~c,~\omega$ は正の定数とする．座標平面上の動点Pは時刻 $t=0$ のとき原点にあり，毎秒 $c$ の速さで $x$ 軸上を正の方向へ動いているとする．また，動点Qは時刻 $t=0$ のとき点 $(0,-r)$ にあるとする．点Pから見て，動点Qが点Pを中心とする半径 $r$ の円周上を毎秒 $\omega$ ラジアンの割合で反時計回りに回転しているとき，
(1) 時刻 $t$ における動点Qの座標 $(x(t),y(t))$ を求めよ．
(2) 動点Qの描く曲線が交差しない，すなわち， $t_1 \ne t_2$ ならば $(x(t_1),y(y_1))　\ne (x(t_2),y(t_2))$ であるための必要十分条件を $r,~c,~\omega$ を用いて与えよ．

次はアステロイドです。

３．(大分医科大)
$\theta$ を媒介変数として， $x=\cos^3\theta,~y=\sin^3\theta$ で表される曲線がある．
(1) $\dfrac{dy}{dx}$ および $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を計算せよ．
(2) この曲線の概形をかけ．

４．(早稲田大)
関数 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ について，
(1) $y=f(x)$ のグラフの概形をかけ．
(2) $t>0$ を媒介変数として， $x=f'(t),~y=f(t)-tf'(t)$ で表される曲線の概形をかけ．
(3) (2)の曲線の接線が $x$ 軸と $y$ 軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．

次は対数螺旋とカーディオイドです。

５．((1) 関西大　(2) 信州大)
(1) Oを原点とする $xy$ 平面上の曲線 $C$ が次の式で与えられている．
$x=e^{-t}\cos t,~y=e^{-t}\sin t~(t \geqq 0)$
曲線 $C$ を図示せよ．
(2) 曲線 $\left\{\begin{array}{l} x=(1+\cos\theta)\cos\theta\\ y=(1+\cos\theta)\sin\theta \end{array}\right.~(0 \leqq \theta < 2\pi)$ をかけ．

最後にレム二スケートです。

６．(滋賀医科大)
$xy$ 平面の2定点A $(-1,0)$ , B $(1,0)$ からの距離の積が1に等しい点の軌跡を $C$ とする．
(1) $C$ は $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称であることを示せ．
(2) 直線 $y=tx$ と曲線 $C$ とが原点以外で交わるための $t$ の範囲を求め，そのときの交点P $(x,y)$ の $x$ 座標と $y$ 座標を $t$ で表せ．
(3) この点Pが $x \geqq 0,~y \geqq 0$ の部分にあるとき， $x$ の関数 $y$ の増減を調べよ．
(4) (3)の関数について， ${\displaystyle\lim_{x \to +0}}\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ．
(5) (1)での対称性を利用して， $C$ のグラフの概形を描け．

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