グラフ6

2017年7月10日

次は媒介変数表示された曲線のグラフです。まずはサイクロイドとリサジューから。

1.
次の曲線のグラフの概形をかけ.ただし,aは正の定数とする.
(1) \left\{\begin{array}{l} x=a(\theta-\sin\theta)\\ y=a(1-\cos\theta) \end{array}\right.~(0 < \theta < 2\pi)
(2) \left\{\begin{array}{l} x=\sin t\\ y=\sin 2t \end{array}\right.~(0 \leqq t < 2\pi)

次はトロコイドです。

2.(神戸大)
r,~c,~\omegaは正の定数とする.座標平面上の動点Pは時刻t=0のとき原点にあり,毎秒cの速さでx軸上を正の方向へ動いているとする.また,動点Qは時刻t=0のとき点(0,-r)にあるとする.点Pから見て,動点Qが点Pを中心とする半径rの円周上を毎秒\omegaラジアンの割合で反時計回りに回転しているとき,
(1) 時刻tにおける動点Qの座標(x(t),y(t))を求めよ.
(2) 動点Qの描く曲線が交差しない,すなわち,t_1 \ne t_2ならば(x(t_1),y(y_1)) \ne (x(t_2),y(t_2))であるための必要十分条件をr,~c,~\omegaを用いて与えよ.

次はアステロイドです。

3.(大分医科大)
\thetaを媒介変数として,x=\cos^3\theta,~y=\sin^3\thetaで表される曲線がある.
(1) \dfrac{dy}{dx}および\dfrac{d^2y}{dx^2}を計算せよ.
(2) この曲線の概形をかけ.

4.(早稲田大)
関数f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}について,
(1) y=f(x)のグラフの概形をかけ.
(2) t>0を媒介変数として,x=f'(t),~y=f(t)-tf'(t)で表される曲線の概形をかけ.
(3) (2)の曲線の接線がx軸とy軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ.

次は対数螺旋とカーディオイドです。

5.((1) 関西大 (2) 信州大)
(1) Oを原点とするxy平面上の曲線Cが次の式で与えられている.
x=e^{-t}\cos t,~y=e^{-t}\sin t~(t \geqq 0)
曲線Cを図示せよ.
(2) 曲線\left\{\begin{array}{l} x=(1+\cos\theta)\cos\theta\\ y=(1+\cos\theta)\sin\theta \end{array}\right.~(0 \leqq \theta < 2\pi)をかけ.

最後にレム二スケートです。

6.(滋賀医科大)
xy平面の2定点A(-1,0), B(1,0)からの距離の積が1に等しい点の軌跡をCとする.
(1) Cx軸およびy軸に関して対称であることを示せ.
(2) 直線y=txと曲線Cとが原点以外で交わるためのtの範囲を求め,そのときの交点P(x,y)x座標とy座標をtで表せ.
(3) この点Pがx \geqq 0,~y \geqq 0の部分にあるとき,xの関数yの増減を調べよ.
(4) (3)の関数について,{\displaystyle\lim_{x \to +0}}\dfrac{dy}{dx}を求めよ.
(5) (1)での対称性を利用して,Cのグラフの概形を描け.

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