最大・最小１

2017年3月31日2017年7月21日

最大、最小の問題です。

１．((2) 京都大)
(1) 関数 $y=x+\sqrt{1-x^2}$ の最大値，最小値を求めよ．
(2) $-\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ における $\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$ の最大値を求めよ．ただし， $\pi>3.1$ および $\sqrt{3}>1.7$ が成り立つことは証明なしに用いてよい．

２．(京都大)
(1) $n$ を2以上の自然数とするとき，関数 $f_n(\theta)=(1+\cos\theta)\sin^{n-1}\theta$ の $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ における最大値 $M_n$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}(M_n)^n$ を求めよ．

３．(山形大)
関数 $f(x)=x^x~(x>0)$ について
(1) 導関数 $f'(x)$ を求めよ．
(2) $f(x)$ の最小値およびそのときの $x$ の値を求めよ．
(3) 原点を通り，曲線 $y=f(x)$ に接する直線の方程式を求めよ．

４．(愛知教育大)
関数 $f(n)=\sqrt[n]{n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ の最大値と最小値を求めよ．

次は第2次導関数を利用して最小値を求める問題です。

５．(早稲田大)
関数 $f(x)=x\log\dfrac{x}{a}+(1-x)\log\dfrac{1-x}{1-a}-2x^2+4ax~(0<x<1)$ について，次の問いに答えよ．ただし， $a$ は $0<a<1$ をみたす定数とする．
(1) $f'(a)$ の値を求めよ．
(2) $f(x)$ の最小値を求めよ．

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Posted by 山彦のフドウ

最大・最小２

グラフ６

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