最大・最小1

2017年7月21日

最大、最小の問題です。

1.((2) 京都大)
(1) 関数y=x+\sqrt{1-x^2}の最大値,最小値を求めよ.
(2) -\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}における\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2の最大値を求めよ.ただし,\pi>3.1および\sqrt{3}>1.7が成り立つことは証明なしに用いてよい.

2.(京都大)
(1) nを2以上の自然数とするとき,関数f_n(\theta)=(1+\cos\theta)\sin^{n-1}\theta0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}における最大値M_nを求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}(M_n)^nを求めよ.

3.(山形大)
関数f(x)=x^x~(x>0)について
(1) 導関数f'(x)を求めよ.
(2) f(x)の最小値およびそのときのxの値を求めよ.
(3) 原点を通り,曲線y=f(x)に接する直線の方程式を求めよ.

4.(愛知教育大)
関数f(n)=\sqrt[n]{n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)の最大値と最小値を求めよ.

次は第2次導関数を利用して最小値を求める問題です。

5.(早稲田大)
関数f(x)=x\log\dfrac{x}{a}+(1-x)\log\dfrac{1-x}{1-a}-2x^2+4ax~(0<x<1)について,次の問いに答えよ.ただし,a0<a<1をみたす定数とする.
(1) f'(a)の値を求めよ.
(2) f(x)の最小値を求めよ.

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