方程式への応用１

2017年4月2日2019年3月23日

微分法の方程式への応用です。

１．(長岡技術科学大)
方程式 $x-3\log x=0$ の正の実数解の個数を求めよ．ただし， $\log x$ は自然対数を表す．

「ただ1つ」とついたら何を示せばよいでしょうか。

２．((1), (2) 関西学院大)
(1) 方程式 $2^x=x^2+1$ は， $4<x<5$ において，ただ1つの解をもつことを示せ．ただし，対数は自然対数で， $\log 2>\dfrac{1}{2}$ を用いてもよい．
(2) 方程式 $\log x=\dfrac{1}{x}$ は， $x>0$ において，ただ1つの解をもつことを示せ．ただし，対数は自然対数で， $\log 2>\dfrac{1}{2}$ を用いてもよい．

→解答

３．(名古屋大)
$a$ を1より大きい実数とする．
(1) 関数 $y=a^x$ と $y=\log_ax$ のグラフの共有点は，存在すれば直線 $y=x$ 上にあることを示せ．
(2) 関数 $y=a^x$ と $y=\log_ax$ のグラフの共有点は2個以下であることを示せ．
(3) 関数 $y=a^x$ と $y=\log_ax$ のグラフの共有点は1個であるとする．このとき，共有点の座標と $a$ の値を求めよ．