方程式への応用2

2019年3月23日

次は定数が入った方程式の実数解の個数の問題です。

1.
(1) aを定数とするとき,xについての方程式2x^3-ax^2+1=0の異なる実数解の個数を調べよ.
(2) aを定数とするとき,xについての方程式e^x=axの異なる実数解の個数を調べよ.

解答

2.(防衛医大)
eを自然対数の底,nを正整数,aを実数として,以下の問いに答えよ.
(1) \dfrac{x^{n+1}}{e^x}x>0における最大値はいくらか.
(2) (1)を用いて,極限{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{x^n}{e^x}を調べよ.
(3) 方程式x^n=ae^x-\infty<x<\inftyにおける解の個数を求めよ.

解答

3.(富山大)
(1) 関数y=\sqrt[3]{x^2}x=0で微分可能でないことを示せ.
(2) 関数f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^2}+2\sqrt[3]{(x+2)^2}を考える.
(ア) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x),~\lim_{x \to -\infty}f(x)}をそれぞれ求めよ.
(イ) y=f(x)のグラフの概形をかけ.
(ウ) kを実数とする.xについての方程式f(x)=kの異なる実数解の個数が4個となるようなkの値の範囲を求めよ.

解答

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