方程式への応用２

2017年4月2日2019年3月23日

次は定数が入った方程式の実数解の個数の問題です。

１．
(1) $a$ を定数とするとき， $x$ についての方程式 $2x^3-ax^2+1=0$ の異なる実数解の個数を調べよ．
(2) $a$ を定数とするとき， $x$ についての方程式 $e^x=ax$ の異なる実数解の個数を調べよ．

→解答

２．(防衛医大)
$e$ を自然対数の底， $n$ を正整数， $a$ を実数として，以下の問いに答えよ．
(1) $\dfrac{x^{n+1}}{e^x}$ の $x>0$ における最大値はいくらか．
(2) (1)を用いて，極限 ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{x^n}{e^x}$ を調べよ．
(3) 方程式 $x^n=ae^x$ の $-\infty<x<\infty$ における解の個数を求めよ．

→解答

３．(富山大)
(1) 関数 $y=\sqrt[3]{x^2}$ は $x=0$ で微分可能でないことを示せ．
(2) 関数 $f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^2}+2\sqrt[3]{(x+2)^2}$ を考える．
(ア) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x),~\lim_{x \to -\infty}f(x)}$ をそれぞれ求めよ．
(イ) $y=f(x)$ のグラフの概形をかけ．
(ウ) $k$ を実数とする． $x$ についての方程式 $f(x)=k$ の異なる実数解の個数が4個となるような $k$ の値の範囲を求めよ．