方程式への応用3

2の続きです。三角関数が絡んだものをいくつか。

1.(お茶の水女子大)
関数f(x)=e^{-x}\sin xについて
(1) 区間x>0における関数y=f(x)の極値とそのときのxの値を求めよ.
(2) xについての方程式f(x)=kが区間x>0においてちょうど4つの解をもつような定数kの値の範囲を求めよ.

2.(東京大)
aを実数とし,x>0で定義された関数f(x),~g(x)を次のように定める.
f(x)=\dfrac{\cos x}{x},~g(x)=\sin x+ax
このとき,y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフがx>0において共有点をちょうど3つもつようなaをすべて求めよ.

3.(北海道大)
nを自然数とする.等式\sin x=e^{\frac{\pi}{n}}-1を満たす0以上の実数xの個数をP_nで表す.このとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{P_n}{n}を求めよ.ただし,eは自然対数の底とする.

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