方程式への応用4

次は指数関数を含む方程式への応用です。

1.(鹿児島大)
(1) y=\dfrac{\log x}{x}~(x>0)のグラフの概形をかけ.
(2) 正の数aに対してa^x=x^aをみたす実数xの個数を求めよ.

2.(大阪教育大)
(1) aを正の実数とするとき,方程式x=a\log xの実数解の個数を求めよ.ただし,{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}(x-a\log x)=\inftyは用いてよいものとする.
(2) nが自然数であるとき,方程式e^x=x^nの実数解の個数を求めよ.ただし,eは自然対数の底とする.

3.(大阪市立大)
正の実数xに対して,f(x)=\dfrac{\log x}{x}とする.
(1) 関数f(x)の増減を調べ,極値を求めよ.
(2) 自然数a,~bで,a<bかつa^b=b^aとなるものをすべて求めよ.

4.(名古屋大)
(1) 関数f(x)=x^{-2}2^x~(x \ne 0)について,f'(x)>0になるためのxに関する条件を求めよ.
(2) 方程式2^x=x^2は相異なる3個の実数解をもつことを示せ.
(3) 方程式2^x=x^2の解で有理数であるものをすべて求めよ.

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