方程式への応用５

2017年4月2日

次は合成関数を含む方程式への応用です。

１．(大阪教育大)
関数 $f(x)$ を次のようにおく．
$f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}-3}{e^{2x}+e^{-2x}-6e^x-6e^{-x}+12}$
(1) $t=e^x+e^{-x}-3$ とする． $f(x)$ を $t$ の式で表せ．
(2) $x$ は実数全体を動くとする． $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ．
(3) 実数 $a$ に対して $f(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

２．(高知大)
関数 $f(x)=x^3e^{-9x}$ と実数 $a$ に対して，
(1) 導関数 $f'(x)$ を求めよ．
(2) $-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲で， $f(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．
(3) $-\dfrac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \dfrac{5}{3}\pi$ の範囲で， $f(\cos\theta)=a$ を満たす実数 $\theta$ がちょうど6個存在するような $a$ の範囲を求めよ．