接線の本数1

2017年4月9日

ある点から曲線に引ける接線の本数を求める問題です。

1.
関数f(x)=xe^{-x}について次の問いに答えよ.必要ならば{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x^2e^{-x}=0を利用せよ.
(1) f(x)の増減および凹凸を調べ,曲線y=f(x)のグラフをかけ.
(2) y軸上の点P(0,p)より,(1)における曲線に3本の接線がひけるとする.このようなpのとり得る値の範囲を求めよ.

2.(東京理科大)
関数f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^3}~(x>0)を考える.
(1) 関数f(x)の極大値および極小値を求めよ.
(2) y軸上に点P(0,p)をとる.pの値によって,P(0,p)から曲線y=f(x)に何本の接線が引けるかを調べよ.

3.((1) 京都工繊大 (2) 弘前大)
(1) 原点Oから曲線y=x^2-\dfrac{1}{x}+aにちょうど2本の接線が引けるような定数aの値を求めよ.
(2) aを定数とするとき,曲線y=\dfrac{x-a}{x^3+1}に原点(0,0)から何本の接線が引けるか.aの値によって,場合に分けて答えよ.

4.(大阪大)
aは実数とする.曲線y=e^x上の各点を通る法線のうちで,点P(a,3)を通るものの個数をn(a)とする.n(a)を求めよ.

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