接線の本数２

2017年4月3日

次は共通接線の本数を求める問題です。

１．(東北大)
$a$ を0でない実数とする．2つの曲線 $y=e^x$ および $y=ax^2$ の両方に接する直線の本数を求めよ．

２．(大阪府立大)
2つの曲線 $C_1:y=\log x$ および $C_2:y=\sqrt{ax}$ を考える．ただし， $a$ は正の定数である．
(1) 曲線 $C_1$ 上の点 $(t,\log t)$ における接線 $l_1$ の方程式，および曲線 $C_2$ 上の点 $(s,\sqrt{as})$ における接線 $l_2$ の方程式を求めよ．ただし， $t>0,~s>0$ である．
(2) 曲線 $C_1$ と曲線 $C_2$ の両方に接する直線が存在しないための $a$ の値の範囲を求めよ．