不等式への応用1

微分法の不等式の証明への応用です。まずは{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{x}{e^x}=0の証明から。

1.(大阪医科大)
eは自然対数の底とする.
(1) x>0のとき,不等式e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}を示せ.
(2) (1)の結果を用いて,極限値{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{x}{e^x}を求めよ.
(3) S_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}ke^{-k}とする.極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_nを求めよ.

2.(同志社大)
nを自然数とする.
(1) x>0のとき,不等式e^x>1+xが成り立つことを示せ.
(2) x>0のとき,次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.
e^x>1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}
(3) 極限値{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{x^n}{e^x}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を求めよ.

次に相加相乗平均の不等式の証明を2つ。

3.(横浜市立大)
(1) すべての実数xに対して,不等式x \leqq e^{x-1}が成り立つことを示せ.
(2) 正の数x_1,~x_2,~\cdots,~x_nが,x_1+x_2+\cdots+x_n=nを満たすとき,x_1x_2 \cdots x_n \leqq 1が成り立つことを示せ.
(3) 正の数a_1,~a_2,~\cdots,~a_nに対して,A=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}とするとき,a_1a_2 \cdots a_n \leqq A^nが成り立つことを示せ.

4.(静岡大)
(1) すべての実数tに対して,不等式e^t \geqq 1+tが成り立つことを示せ.また,等号が成立する場合はどのようなときか.
(2) 実数t_j~(j=1,~2,~\cdots,~n)に対して,x_j=e^{t_j}とおく.x_1x_2 \cdots x_n=1のとき,不等式x_1+x_2+\cdots+x_n \geqq nが成り立つことを示せ.また,等号が成り立つ場合はどのようなときか.
(3) x_1>0,~x_2>0,~\cdots,~x_n>0のとき,不等式\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \geqq \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つ場合はどのようなときか.

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