不等式への応用１

2017年4月5日

微分法の不等式の証明への応用です。まずは ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{x}{e^x}=0$ の証明から。

１．(大阪医科大)
$e$ は自然対数の底とする．
(1) $x>0$ のとき，不等式 $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ を示せ．
(2) (1)の結果を用いて，極限値 ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{x}{e^x}$ を求めよ．
(3) $S_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}ke^{-k}$ とする．極限値 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_n$ を求めよ．

２．(同志社大)
$n$ を自然数とする．
(1) $x>0$ のとき，不等式 $e^x>1+x$ が成り立つことを示せ．
(2) $x>0$ のとき，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
$e^x>1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}$
(3) 極限値 ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\dfrac{x^n}{e^x}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を求めよ．

次に相加相乗平均の不等式の証明を2つ。

３．(横浜市立大)
(1) すべての実数 $x$ に対して，不等式 $x \leqq e^{x-1}$ が成り立つことを示せ．
(2) 正の数 $x_1,~x_2,~\cdots,~x_n$ が， $x_1+x_2+\cdots+x_n=n$ を満たすとき， $x_1x_2 \cdots x_n \leqq 1$ が成り立つことを示せ．
(3) 正の数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ に対して， $A=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ とするとき， $a_1a_2 \cdots a_n \leqq A^n$ が成り立つことを示せ．

４．(静岡大)
(1) すべての実数 $t$ に対して，不等式 $e^t \geqq 1+t$ が成り立つことを示せ．また，等号が成立する場合はどのようなときか．
(2) 実数 $t_j~(j=1,~2,~\cdots,~n)$ に対して， $x_j=e^{t_j}$ とおく． $x_1x_2 \cdots x_n=1$ のとき，不等式 $x_1+x_2+\cdots+x_n \geqq n$ が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つ場合はどのようなときか．
(3) $x_1>0,~x_2>0,~\cdots,~x_n>0$ のとき，不等式 $\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \geqq \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}$ が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つ場合はどのようなときか．

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