不等式への応用２

2017年4月5日

１の続きです。証明する不等式は大学で習うマクローリン展開をもとに得られるものが非常に多いです。

１．(昭和大)
次の各問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1) $x>0$ のとき， $x-\dfrac{x^2}{2}<\log(1+x)<x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{2x^3}{3}$ であることを証明せよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\left\{\dfrac{1}{\log(1+x)}-\dfrac{1}{x}\right\}$ を求めよ．

２．(津田塾大)
(1) $x>0$ のとき，不等式 $x-\dfrac{x^2}{2}<\log (1+x)<x$ を証明せよ．
(2) 自然数 $n$ に対して $a_n=\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\left(1+\dfrac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{n-1}{n^2}\right)$ とおく．(1)を用いて，数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ．

３．(明治大)
(1) $x \geqq 0$ のとき， $\sin x \leqq x$ であることを示せ．
(2) $x \geqq 0$ のとき， $x-\dfrac{x^3}{6} \leqq \sin x$ であることを示せ．
(3) 上の式から， $x$ が1度 $\left(=\dfrac{\pi}{180}\right)$ のとき， $x$ と $\sin x$ との差は小数第何位まで0であることがわかるか．