不等式への応用2

1の続きです。証明する不等式は大学で習うマクローリン展開をもとに得られるものが非常に多いです。

1.(昭和大)
次の各問いに答えよ.ただし,対数は自然対数とする.
(1) x>0のとき,x-\dfrac{x^2}{2}<\log(1+x)<x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{2x^3}{3}であることを証明せよ.
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\left\{\dfrac{1}{\log(1+x)}-\dfrac{1}{x}\right\}を求めよ.

2.(津田塾大)
(1) x>0のとき,不等式x-\dfrac{x^2}{2}<\log (1+x)<xを証明せよ.
(2) 自然数nに対してa_n=\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\left(1+\dfrac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{n-1}{n^2}\right)とおく.(1)を用いて,数列\{a_n\}の極限を求めよ.

3.(明治大)
(1) x \geqq 0のとき,\sin x \leqq xであることを示せ.
(2) x \geqq 0のとき,x-\dfrac{x^3}{6} \leqq \sin xであることを示せ.
(3) 上の式から,xが1度\left(=\dfrac{\pi}{180}\right)のとき,x\sin xとの差は小数第何位まで0であることがわかるか.

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