不等式への応用4

マクローリン展開にかかわるものをいくつか。

1.(京都府立医大)
f_n(x)={\displaystyle\sum_{k=0}^{n}}\dfrac{x^k}{k!}~(n=0,~1,~2,~\cdots)とするとき,次の不等式を証明せよ.
(1) x \geqq 0のとき,f_n(x) \leqq e^x
(2) x \leqq 0のとき,
[1] nが偶数ならば,f_n(x) \geqq e^x
[2] nが奇数ならば,f_n(x) \leqq e^x
(3) nが偶数のとき,すべてのxに対して,f_n(x)>0

2.(早稲田大)
(1) 任意の実数xに対して,不等式\cos x-1+\dfrac{x^2}{2} \geqq 0が成り立つことを示せ.
(2) nを自然数とする.任意の実数xに対して,不等式
(-1)^{n+1}\left\{\cos x-{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\right\} \geqq 0
が成り立つことを示せ.ただし,0!=0^0=1とする.

3.(滋賀県立大)
0 \leqq x \leqq 1とする.
(1) 0 \leqq e^x-(1+x) \leqq xであることを示せ.
(2) 任意の正の整数nに対して,
0 \leqq e^x-\left(1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\cdots+\dfrac{1}{n!}x^n\right) \leqq \dfrac{1}{n!}x^n
が成り立つことを示せ.
(3) 1+{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}}\dfrac{1}{k!}x^k=e^xが成り立つことを示せ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ