不等式への応用４

2017年4月5日

マクローリン展開にかかわるものをいくつか。

１．(京都府立医大)
$f_n(x)={\displaystyle\sum_{k=0}^{n}}\dfrac{x^k}{k!}~(n=0,~1,~2,~\cdots)$ とするとき，次の不等式を証明せよ．
(1) $x \geqq 0$ のとき， $f_n(x) \leqq e^x$
(2) $x \leqq 0$ のとき，
$[1]$ $n$ が偶数ならば， $f_n(x) \geqq e^x$
$[2]$ $n$ が奇数ならば， $f_n(x) \leqq e^x$
(3) $n$ が偶数のとき，すべての $x$ に対して， $f_n(x)>0$

２．(早稲田大)
(1) 任意の実数 $x$ に対して，不等式 $\cos x-1+\dfrac{x^2}{2} \geqq 0$ が成り立つことを示せ．
(2) $n$ を自然数とする．任意の実数 $x$ に対して，不等式
$(-1)^{n+1}\left\{\cos x-{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\right\} \geqq 0$
が成り立つことを示せ．ただし， $0!=0^0=1$ とする．

３．(滋賀県立大)
$0 \leqq x \leqq 1$ とする．
(1) $0 \leqq e^x-(1+x) \leqq x$ であることを示せ．
(2) 任意の正の整数 $n$ に対して，
$0 \leqq e^x-\left(1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\cdots+\dfrac{1}{n!}x^n\right) \leqq \dfrac{1}{n!}x^n$
が成り立つことを示せ．
(3) $1+{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}}\dfrac{1}{k!}x^k=e^x$ が成り立つことを示せ．