不等式への応用５

2017年4月5日

指数関数に関わるものをいくつか。

１．(東北大)
(1) $\log x$ を $x$ の自然対数とする．このとき， $f(x)=\dfrac{\log x}{x}~(x>0)$ の極値，および $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点を求め， $y=f(x)$ のグラフの概形をかけ．
(2) $a$ を正の数とする．不等式 $a^x \geqq x^a$ が， $x \geqq a$ である任意の $x$ に対して成り立つような， $a$ の範囲を求めよ．

２．(九州大)
(1) 1以上の実数 $a$ と0以上の実数 $x,~c$ に対して，不等式
$(x+c)^a \geqq x^a+c^a$
が成り立つことを示せ．
(2) 1以上の実数 $a$ と0以上の実数 $x_1,~x_2,~\cdots,~x_n$ に対して，不等式
$(x_1+x_2+\cdots+x_n)^a \geqq x_1^a+x_2^a+\cdots+x_n^a$
が成り立つことを示せ．
(3) 正の整数 $p,~q$ が $p \geqq q$ を満たすとき，0以上の実数 $x_1,~x_2,~\cdots,~x_n$ に対して，不等式
$(x_1^q+x_2^q+\cdots+x_n^q)^p \geqq (x_1^p+x_2^p+\cdots+x_n^p)^q$
が成り立つことを示せ．