不等式への応用5

指数関数に関わるものをいくつか。

1.(東北大)
(1) \log xxの自然対数とする.このとき,f(x)=\dfrac{\log x}{x}~(x>0)の極値,およびy=f(x)のグラフとx軸との交点を求め,y=f(x)のグラフの概形をかけ.
(2) aを正の数とする.不等式a^x \geqq x^aが,x \geqq aである任意のxに対して成り立つような,aの範囲を求めよ.

2.(九州大)
(1) 1以上の実数aと0以上の実数x,~cに対して,不等式
(x+c)^a \geqq x^a+c^a
が成り立つことを示せ.
(2) 1以上の実数aと0以上の実数x_1,~x_2,~\cdots,~x_nに対して,不等式
(x_1+x_2+\cdots+x_n)^a \geqq x_1^a+x_2^a+\cdots+x_n^a
が成り立つことを示せ.
(3) 正の整数p,~qp \geqq qを満たすとき,0以上の実数x_1,~x_2,~\cdots,~x_nに対して,不等式
(x_1^q+x_2^q+\cdots+x_n^q)^p \geqq (x_1^p+x_2^p+\cdots+x_n^p)^q
が成り立つことを示せ.

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