不等式への応用6

次は不等式を利用して大小を判定する問題です。

1.(名古屋大)
(1) xを正数とするとき,\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right),~\dfrac{1}{x+1}の大小を比較せよ.
(2) \left(1+\dfrac{2001}{2002}\right)^{\frac{2002}{2001}}\left(1+\dfrac{2002}{2001}\right)^{\frac{2001}{2002}}の大小を比較せよ.

2.(東京大)
(1) 実数x-1<x<1,~x \ne 0を満たすとき,次の不等式を示せ.
(1-x)^{1-\frac{1}{x}}<(1+x)^{\frac{1}{x}}
(2) 次の不等式を示せ.
0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}

3.(名古屋大)
2つの数(0.99)^{99}(1.01)^{-101}との大小を比較せよ.

4.(早稲田大)
(1) 0<a<1とする.このときx>0で定義された関数f(x)=(1+a^x)^{\frac{1}{x}}は単調な関数(増加関数または減少関数)であることを示せ.
(2) 次の4つの数の中から最小の数を選べ.
(2005^{17}+2006^{17})^{\frac{1}{17}},~(2005^{18}+2006^{18})^{\frac{1}{18}},~(2005^{\frac{1}{17}}+2006^{\frac{1}{17}})^{17},~(2005^{\frac{1}{18}}+2006^{\frac{1}{18}})^{18}
(3) nは1より大きい整数,p_1,~p_2,~\cdots,~p_nはすべて正の整数とし,0<\alpha<\betaとする.このとき,(p_1^{\alpha}+p_2^{\alpha}+\cdots+p_n^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}}(p_1^{\beta}+p_2^{\beta}+\cdots+p_n^{\beta})^{\frac{1}{\beta}}の大小を判定せよ.

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