不等式への応用６

2017年4月5日

次は不等式を利用して大小を判定する問題です。

１．(名古屋大)
(1) $x$ を正数とするとき， $\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right),~\dfrac{1}{x+1}$ の大小を比較せよ．
(2) $\left(1+\dfrac{2001}{2002}\right)^{\frac{2002}{2001}}$ と $\left(1+\dfrac{2002}{2001}\right)^{\frac{2001}{2002}}$ の大小を比較せよ．

２．(東京大)
(1) 実数 $x$ が $-1<x<1,~x \ne 0$ を満たすとき，次の不等式を示せ．
$(1-x)^{1-\frac{1}{x}}<(1+x)^{\frac{1}{x}}$
(2) 次の不等式を示せ．
$0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}$

３．(名古屋大)
2つの数 $(0.99)^{99}$ と $(1.01)^{-101}$ との大小を比較せよ．

４．(早稲田大)
(1) $0<a<1$ とする．このとき $x>0$ で定義された関数 $f(x)=(1+a^x)^{\frac{1}{x}}$ は単調な関数(増加関数または減少関数)であることを示せ．
(2) 次の4つの数の中から最小の数を選べ．
$(2005^{17}+2006^{17})^{\frac{1}{17}},~(2005^{18}+2006^{18})^{\frac{1}{18}},~(2005^{\frac{1}{17}}+2006^{\frac{1}{17}})^{17},~(2005^{\frac{1}{18}}+2006^{\frac{1}{18}})^{18}$
(3) $n$ は1より大きい整数， $p_1,~p_2,~\cdots,~p_n$ はすべて正の整数とし， $0<\alpha<\beta$ とする．このとき， $(p_1^{\alpha}+p_2^{\alpha}+\cdots+p_n^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}}$ と $(p_1^{\beta}+p_2^{\beta}+\cdots+p_n^{\beta})^{\frac{1}{\beta}}$ の大小を判定せよ．