不等式への応用７

2017年4月5日

凸性にかかわるものをいくつか。

１．(福井医科大)
以下の問いに答えよ．
(1) $\theta$ の関数 $\cos\theta$ は開区間 $(0,\pi)$ 上で減少することを示せ．
(2) $0<p<1$ と $0<\theta_1,~\theta_2<\pi$ をみたす $p$ と $\theta_1,~\theta_2$ に関して，不等式
$p\sin\theta_1+(1-p)\sin\theta_2 \leqq \sin\{p\theta_1+(1-p)\theta_2\}$
が成り立つことを，関数
$F(\theta)=\sin\{p\theta+(1-p)\theta_2\}-p\sin\theta-(1-p)\sin\theta_2$
の $(0,\pi)$ 上での増減を調べることにより示せ．
(3) 2以上の自然数 $n$ と $0<\theta_1,~\theta_2,~\cdots,~\theta_n<\pi$ に対して，不等式
$\dfrac{\sin\theta_1+\sin\theta_2+\cdots+\sin\theta_n}{n} \leqq \sin\left(\dfrac{\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n}{n}\right)$
が成り立つことを， $n$ に関する数学的帰納法により証明せよ．
(4) 定円に内接する $n$ 角形の面積で最大のものは，内接正 $n$ 角形であることを証明せよ．

２．(京都大)
実数 $a,~b~\left(0 \leqq a<\dfrac{\pi}{4},~0 \leqq b<\dfrac{\pi}{4}\right)$ に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
$\sqrt{\tan a\tan b} \leqq \tan\dfrac{a+b}{2} \leqq \dfrac{1}{2}(\tan a+\tan b)$

３．(神戸大)
$a,~b$ は実数で $a>b>0$ とする．区間 $0 \leqq x \leqq 1$ で定義される関数 $f(x)$ を次のように定める．
$f(x)=\log(ax+b(1-x))-x\log a-(1-x)\log b$
ただし， $\log$ は自然対数を表す．このとき，以下のことを示せ．
(1) $0<x<1$ に対して $f''(x)<0$ が成り立つ．
(2) $f'(c)=0$ を満たす実数 $c$ が， $0<c<1$ の範囲にただ1つ存在する．
(3) $0 \leqq x \leqq 1$ を満たす実数 $x$ に対して， $ax+b(1-x) \geqq a^xb^{1-x}$ が成り立つ．

４．(東京工業大)
$x_i~(i=1,~2,~\cdots,~n)$ を正の数とし， ${\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i=k$ を満たすとする．このとき，不等式 ${\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i\log x_i \geqq k\log\dfrac{k}{n}$ を証明せよ．

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