不等式への応用7

凸性にかかわるものをいくつか。

1.(福井医科大)
以下の問いに答えよ.
(1) \thetaの関数\cos\thetaは開区間(0,\pi)上で減少することを示せ.
(2) 0<p<10<\theta_1,~\theta_2<\piをみたすp\theta_1,~\theta_2に関して,不等式
p\sin\theta_1+(1-p)\sin\theta_2 \leqq \sin\{p\theta_1+(1-p)\theta_2\}
が成り立つことを,関数
F(\theta)=\sin\{p\theta+(1-p)\theta_2\}-p\sin\theta-(1-p)\sin\theta_2
(0,\pi)上での増減を調べることにより示せ.
(3) 2以上の自然数n0<\theta_1,~\theta_2,~\cdots,~\theta_n<\piに対して,不等式
\dfrac{\sin\theta_1+\sin\theta_2+\cdots+\sin\theta_n}{n} \leqq \sin\left(\dfrac{\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n}{n}\right)
が成り立つことを,nに関する数学的帰納法により証明せよ.
(4) 定円に内接するn角形の面積で最大のものは,内接正n角形であることを証明せよ.

2.(京都大)
実数a,~b~\left(0 \leqq a<\dfrac{\pi}{4},~0 \leqq b<\dfrac{\pi}{4}\right)に対し,次の不等式が成り立つことを示せ.
\sqrt{\tan a\tan b} \leqq \tan\dfrac{a+b}{2} \leqq \dfrac{1}{2}(\tan a+\tan b)

3.(神戸大)
a,~bは実数でa>b>0とする.区間0 \leqq x \leqq 1で定義される関数f(x)を次のように定める.
f(x)=\log(ax+b(1-x))-x\log a-(1-x)\log b
ただし,\logは自然対数を表す.このとき,以下のことを示せ.
(1) 0<x<1に対してf''(x)<0が成り立つ.
(2) f'(c)=0を満たす実数cが,0<c<1の範囲にただ1つ存在する.
(3) 0 \leqq x \leqq 1を満たす実数xに対して,ax+b(1-x) \geqq a^xb^{1-x}が成り立つ.

4.(東京工業大)
x_i~(i=1,~2,~\cdots,~n)を正の数とし,{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i=kを満たすとする.このとき,不等式{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i\log x_i \geqq k\log\dfrac{k}{n}を証明せよ.

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