不等式への応用８

2017年4月6日

ここからは2変数の不等式の証明です。まずは置き換えにより1変数に持ち込むパターンから。

１．(お茶の水女子大)
$a,~b$ は $b \geqq a>0$ を満足する実数とするとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
$\log b-\log a \geqq \dfrac{2(b-a)}{b+a}$

２．(岐阜大)
$0<a<b$ のとき，不等式 $\sqrt{ab}<\dfrac{b-a}{\log b-\log a}<\dfrac{a+b}{2}$ が成り立つことを示せ．ただし，対数は自然対数とする．

次はエントロピーの不等式の問題です。しばしば出題されます。

３．(金沢大)
(1) すべての正の数 $x,~y$ に対して，不等式 $x(\log x-\log y) \geqq x-y$ が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは $x=y$ の場合に限ることを示せ．
(2) 正の数 $x_1,~\cdots,~x_n$ が ${\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i=1$ を満たしているとき，不等式 ${\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i\log x_i \geqq \log\dfrac{1}{n}$ が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのは $x_1=x_2=\cdots=x_n=\dfrac{1}{n}$ の場合に限ることを示せ．