不等式への応用8

ここからは2変数の不等式の証明です。まずは置き換えにより1変数に持ち込むパターンから。

1.(お茶の水女子大)
a,~bb \geqq a>0を満足する実数とするとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.
\log b-\log a \geqq \dfrac{2(b-a)}{b+a}

2.(岐阜大)
0<a<bのとき,不等式\sqrt{ab}<\dfrac{b-a}{\log b-\log a}<\dfrac{a+b}{2}が成り立つことを示せ.ただし,対数は自然対数とする.

次はエントロピーの不等式の問題です。しばしば出題されます。

3.(金沢大)
(1) すべての正の数x,~yに対して,不等式x(\log x-\log y) \geqq x-yが成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのはx=yの場合に限ることを示せ.
(2) 正の数x_1,~\cdots,~x_n{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i=1を満たしているとき,不等式{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_i\log x_i \geqq \log\dfrac{1}{n}が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのはx_1=x_2=\cdots=x_n=\dfrac{1}{n}の場合に限ることを示せ.

4.(東京工業大)
正の実数a,~b,~pに対して,A=(a+b)^pB=2^{p-1}(a^p+b^p)の大小関係を調べよ.

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