不等式への応用10

最後に平均値の定理を利用する問題です。微分法を利用した2変数の不等式の証明は、置き換え、1文字固定、平均値の定理の3つの手法をマスターしておかなければなりません。

1.
a<bのとき,次の不等式を平均値の定理を用いて証明せよ.
e^a(b-a)<e^b-e^a<e^b(b-a)

2.(慶応大)
(1) x>0のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
\dfrac{1}{x+1}<\log(x+1)-\log x<\dfrac{1}{x}
(2) n~(\geqq 2)を整数とするとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}<\log n<1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}

3.(名古屋大)
eを自然対数の底とする.e \leqq p<qのとき,不等式
\log(\log q)-\log (\log p)<\dfrac{q-p}{e}
が成り立つことを証明せよ.

4.
平均値の定理を用いて,次の不等式を証明せよ.
|\sin\alpha-\sin\beta| \leqq |\alpha-\beta|

5.(広島大)
任意の実数x,~hに対して
(1) |\sin (x+h)-\sin x| \leqq |h|
(2) |\cos (x+h)-\cos x+h\sin x| \leqq h^2
が成り立つことを示せ.

6.(新潟大)
(1) 関数f(x)=e^x\sin xを微分せよ.
(2) 平均値の定理を利用して,\alpha \leqq \betaのとき,
|e^{\beta}\sin\beta-e^{\alpha}\sin\alpha| \leqq \sqrt{2}(\beta-\alpha)e^{\beta}
が成り立つことを示せ.

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