数列の収束への応用１

2017年4月6日2017年4月9日

数列の収束への応用です。

１．(三重大)
$f(x)=\dfrac{1}{2}\cos x$ とする．
(1) 方程式 $f(x)=x$ はただ1つの解をもつことを示せ．
(2) 任意の実数 $x,~y$ に対して， $|f(x)-f(y)| \leqq \dfrac{1}{2}|x-y|$ が成り立つことを示せ．
(3) 任意の実数 $a$ に対して， $a_0=a,~a_{n}=f(a_{n-1})~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ は， $f(x)=x$ の解に収束することを示せ．

２．(筑波大)
関数 $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$ について，
(1) 導関数 $f'(x)$ の最大値を求めよ．
(2) 方程式 $f(x)=x$ はただ1つの実数解をもつことを示せ。
(3) 漸化式 $a_{n+1}=f(a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ は初項 $a_1$ の値によらず収束し，その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ．

３．(津田塾大)
$f(x)=\log(x+\sqrt{x^2+4})$ とおく．
(1) $f(c)=c$ となる実数 $c$ がただ1つ存在することを示せ．
(2) 平均値の定理を用いて， $a \ne b$ のとき $|f(a)-f(b)| \leqq \dfrac{1}{2}|a-b|$ が成り立つことを示せ．
(3) $p$ を任意の実数とし，数列 $\{a_n\}$ を $a_1=p,~a_{n+1}=f(a_n)~(n \geqq 1)$ で定める． $c$ を $f(c)=c$ を満たす数とする． $|a_n-c|$ を考えることにより， ${\displaystyle\lim{n \to \infty}}a_n=c$ を示せ．

４．(同志社大)
数列 $a_1=\sqrt{2},~a_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}},~a_3=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}},~a_4=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}},~\cdots$ は漸化式 $a_{n+1}=(\sqrt{2})^{a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ を満たしている． $f(x)=(\sqrt{2})^x$ として
(1) $0 \leqq x \leqq 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ．
(2) $0 \leqq x \leqq 2$ における $f'(x)$ の最大値と最小値を求めよ．
(3) $0<a_n<2~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が成立することを数学的帰納法を用いて示せ．
(4) $0<2-a_{n+1}<(\log 2)(2-a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が成立することを示せ．
(5) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n$ を求めよ．

５．(慶応大)
$a_1=0,~a_{n+1}=\log(a_n+e)~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の収束について調べたい．
(1) 方程式 $x=\log(x+e)$ は $x>0$ の範囲でただ1つの実数解 $\beta$ をもつことを証明しなさい．
(2) すべての自然数 $n$ について $0 \leqq a_n<\beta$ が成り立つことを証明しなさい．
(3) $0<a<b$ のとき $\log b-\log a<\dfrac{b-a}{a}$ が成り立つことを証明しなさい．
(4) すべての自然数 $n$ について $\beta-a_{n+1}<\dfrac{1}{e}(\beta-a_n)$ が成り立つことを証明し，これを用いて ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\beta$ を示しなさい．

６．(静岡大)
$a_1$ を $\dfrac{\pi}{12}<a_1<\dfrac{\pi}{4}$ を満たす数とし， $\{a_n\}$ を $a_{n+1}=1-\sin a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定められる数列とする．
(1) 直線 $y=1-x$ と曲線 $y=\sin x$ は， $\dfrac{\pi}{12}<x<\dfrac{\pi}{4}$ の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ．
(2) $n$ を自然数とするとき，不等式 $\dfrac{\pi}{12}<a_n<\dfrac{\pi}{4}$ を示せ．
(3) (1)の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とするとき， ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\alpha$ が成り立つことを示せ．