数列の収束への応用1

2017年4月9日

数列の収束への応用です。

1.(三重大)
f(x)=\dfrac{1}{2}\cos xとする.
(1) 方程式f(x)=xはただ1つの解をもつことを示せ.
(2) 任意の実数x,~yに対して,|f(x)-f(y)| \leqq \dfrac{1}{2}|x-y|が成り立つことを示せ.
(3) 任意の実数aに対して,a_0=a,~a_{n}=f(a_{n-1})~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定められる数列\{a_n\}は,f(x)=xの解に収束することを示せ.

2.(筑波大)
関数f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}について,
(1) 導関数f'(x)の最大値を求めよ.
(2) 方程式f(x)=xはただ1つの実数解をもつことを示せ。
(3) 漸化式a_{n+1}=f(a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)で与えられる数列\{a_n\}は初項a_1の値によらず収束し,その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ.

3.(津田塾大)
f(x)=\log(x+\sqrt{x^2+4})とおく.
(1) f(c)=cとなる実数cがただ1つ存在することを示せ.
(2) 平均値の定理を用いて,a \ne bのとき|f(a)-f(b)| \leqq \dfrac{1}{2}|a-b|が成り立つことを示せ.
(3) pを任意の実数とし,数列\{a_n\}a_1=p,~a_{n+1}=f(a_n)~(n \geqq 1)で定める.cf(c)=cを満たす数とする.|a_n-c|を考えることにより,{\displaystyle\lim{n \to \infty}}a_n=cを示せ.

4.(同志社大)
数列a_1=\sqrt{2},~a_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}},~a_3=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}},~a_4=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}},~\cdotsは漸化式a_{n+1}=(\sqrt{2})^{a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たしている.f(x)=(\sqrt{2})^xとして
(1) 0 \leqq x \leqq 2におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ.
(2) 0 \leqq x \leqq 2におけるf'(x)の最大値と最小値を求めよ.
(3) 0<a_n<2~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成立することを数学的帰納法を用いて示せ.
(4) 0<2-a_{n+1}<(\log 2)(2-a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成立することを示せ.
(5) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

5.(慶応大)
a_1=0,~a_{n+1}=\log(a_n+e)~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定まる数列\{a_n\}の収束について調べたい.
(1) 方程式x=\log(x+e)x>0の範囲でただ1つの実数解\betaをもつことを証明しなさい.
(2) すべての自然数nについて0 \leqq a_n<\betaが成り立つことを証明しなさい.
(3) 0<a<bのとき\log b-\log a<\dfrac{b-a}{a}が成り立つことを証明しなさい.
(4) すべての自然数nについて\beta-a_{n+1}<\dfrac{1}{e}(\beta-a_n)が成り立つことを証明し,これを用いて{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\betaを示しなさい.

6.(静岡大)
a_1\dfrac{\pi}{12}<a_1<\dfrac{\pi}{4}を満たす数とし,\{a_n\}a_{n+1}=1-\sin a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定められる数列とする.
(1) 直線y=1-xと曲線y=\sin xは,\dfrac{\pi}{12}<x<\dfrac{\pi}{4}の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ.
(2) nを自然数とするとき,不等式\dfrac{\pi}{12}<a_n<\dfrac{\pi}{4}を示せ.
(3) (1)の交点のx座標を\alphaとするとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\alphaが成り立つことを示せ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ