数列の収束への応用2

2017年4月9日

1の続きです。少し抽象的なものをいくつか。

1.(東京大)
関数f(x)f(x)=\dfrac{1}{2}x\{1+e^{-2(x-1)}\}とする.ただし,eは自然対数の底である.
(1) x>\dfrac{1}{2}ならば0 \leqq f'(x)<\dfrac{1}{2}であることを示せ.
(2) x_0を正の数とするとき,数列\{x_n\}~(n=0,~1,~\cdots)x_{n+1}=f(x_n)によって定める.x_0>\dfrac{1}{2}であれば,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}x_n=1であることを示せ.

2.(九州大)
関数f(x)は区間0 \leqq x \leqq 1において連続で0 \leqq f(x) \leqq 1をみたす.このとき
(1) y=f(x)のグラフと直線y=xは共有点をもつことを証明せよ.
(2) f(x)が微分可能で|f'(x)| \leqq \dfrac{1}{2}をみたすならば,
0 \leqq x_1 \leqq 1としx_{n+1}=f(x_n),~n=1,~2,~3,~\cdots
によって定義される数列\{x_n\}n \to \inftyのとき収束することを証明せよ.

3.(愛媛大)
関数f(x)は第2次導関数をもち,条件
(A) f(0)>0,~f(1)=1
(B) f'(0)>0,~0<f'(1)<1
(C) すべての実数xに対してf''(x)>0
をすべて満たすものとする.また,数列\{x_n\}を帰納的に
x_1=0,~x_{n+1}=f(x_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)
で定める.
(1) 0 \leqq x<1のとき
f(0) \leqq f(x)<1,~f'(0) \leqq f'(x)<f'(1)
であることを示せ.
(2) すべての自然数nに対して0<1-x_{n+1}<f'(1)(1-x_n)が成り立つことを示せ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}x_n=1であることを示せ.

4.(東京大)
p,~qは実数の定数で,0<p<1,~q>0を満たすとする.関数f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})を考える.次の問いに答えよ.必要であれば,不等式1+x \leqq e^xがすべての実数xに対して成り立つことを証明なしに用いてよい.
(1) 0<x<1のとき,0<f(x)<1であることを示せ.
(2) x_00<x_0<1を満たす実数とする.数列\{x_n\}の各項x_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)を,x_n=f(x_{n-1})によって順次定める.p>qであるとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}x_n=0となることを示せ.
(3) p<qであるとき,c=f(c),~0<c<1を満たす実数cが存在することを示せ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ