反射

2019年8月21日

反射の問題です。反射の問題もはね返ったまま考えるのは難しいので、はね返りの線に対称な点を考えるのが原則です。反射した線は反射しなければそのまま直進するので、対称移動した点は最初のはね返る前の直線の延長上にあることも重要な条件となります。

1.C (東北大)
2点A(4,0), B(0,2)を考える.線分AB上の点Pとx軸上の点Qが\angle\mbox{OPB}=\angle\mbox{QPA} (O:原点)を満たしている.直線OPの傾きをmとして,Qのx座標をmを用いて表せ.

解答

応用問題をいくつか。

2.C (名古屋大)
\angleAOBを直角とする直角三角形OAB上で玉突きをする.ただし各辺では,入射角と反射角が等しい完全反射をするものとし,玉の大きさは無視する.Aから打ち出された玉が各辺に1回ずつ当たって,Bに達することができるための\angleOABに関する条件を求めよ.

解答

3.C (東京大)
正三角形ABCの頂点Aから辺ABとのなす角が\thetaの方向に,三角形の内部に向かって出発した光線を考える.ただし,0^{\circ}<\theta<60^{\circ}とする.この光線は三角形の各辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し,頂点に到達するとそこで止まるものとする.また,三角形の内部では光線は直進するものとする.
(1) \tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{4}のとき,この光線はどの頂点に到達するかを述べよ.
(2) 正の整数kを用いて\tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{6k+2}と表されるとき,この光線が到達する頂点を求め,またそこへ至るまでの反射の回数をkを用いて表せ.

解答

4.C (東京工業大)
(x,y)平面において半円x^2+y^2=1,~y \geqq 0の内側が鏡になっているとする.図のように,定点(1,0)よりx軸となす角\thetaで光線が反射され,2回半円に反射したのち,x軸上の点Pを通過したとする.
(1) このような状況が起こるための\thetaの範囲を求めよ.
(2) Pの座標を\thetaを用いて表せ.
(3) \thetaが(1)の範囲を動くときのPの動く範囲を求めよ.

解答

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