円と直線

2019年8月21日

円と直線の位置関係の問題です。

1.A ((3) 青山学院大)
(1) 直線y=x+kと円x^2+y^2=1とが異なる2点で交わるとき,定数kの値の範囲を求めよ.
(2) 円C:x^2+y^2-4x-2y+3=0と直線l:y=-x+kが異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求めよ.
(3) 点A(2,2)を通る直線y=m(x-2)+2と円x^2+y^2=2が共有点をもつようなmの値の範囲を求めよ.

解答

弦の長さに関わる問題をいくつか。

2.A
(1) 円x^2+y^2=2と直線x-y-1=0の2つの交点を結ぶ線分の長さlを求めよ.
(2) 円C:x^2+y^2-4x-2y+3=0と直線l:y=-x+kについて,lCによって切り取られてできる線分の長さが2となるとき,kの値を求めよ.

解答

3.B (南山大)
(0,k)を通る傾き1の直線が,中心(0,1),半径1の円Cと異なる2点P, Qで交わるとき,実数kの値の範囲を求めよ.さらに,線分PQが円Cに内接する正三角形の1辺となるとき,実数kの値を求めよ.

解答

4.B (同志社大)
kを定数とする.Oを原点とする座標平面上にある直線L:y=-x+kと円C:(x-2)^2+(y-2)^2=8が異なる2点A, Bで交わっている.このとき,kの値の範囲は(  )である.円Cが直線Lを切り取る弦ABの長さを,kの式として表すと(  )となり,\bigtriangleupOABの面積は(  )となる.また,k=(~~~~~)のとき,\bigtriangleupOABは正三角形となり,このとき\bigtriangleupOABの面積は(  )となる.

解答

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